畸變

Template:About Template:Optical aberration 几何光学中的畸变（Template:Lang-en）是成像偏離Template:Link-en（直線在投影後仍維持直線的投影），是像差的一種，但和球面像差、彗形像差、色差、佩兹瓦尔像场弯曲及像散不同，後面幾種像差會影響影像的精細度，但不會改變圖案（直線在投影後仍是直線，但會因為像差而變模糊），而畸變會改變圖案本身形狀。畸變与物像点离光轴的垂直高度的立方成正比，因此，物像四角的畸變比物像的四边的畸變程度大^[1]Template:Rp。

分類

Template:Multiple image

畸變可能是不規則的，且有許多不同的模式。但很常見的畸變是輻射對稱的，是因為鏡頭的對稱性所產生。這類畸變可以分為桶状畸變或枕状畸变^[2]。

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詞語由來

上述畸變的名稱來自有類似外形的日常事物。

在桶状畸变中，直線會往外膨脹，類似木桶。
在枕状畸变中，方形的四角會往外伸長，類似座墊。
在鬍狀畸變中，水平線會先在中心部位突出，再往另一個方向彎曲，類似Template:Link-en

出現畸變的情形

攝影中的畸變特別和变焦镜头有關，特別是大畫幅鏡頭，不過也會在定焦鏡頭上出現，和其焦距有關。例如佳能 EF 50mm 鏡頭 Template:F/1.4 在極短焦距下會有桶状畸变。廣角鏡頭可能會出現桶状畸变，且常出現在容易出現在变焦镜头的廣角端點，枕状畸变會出現在較舊或是低階的遠攝鏡頭上。鬍狀畸變特別會在变焦镜头的視野末端出現，特別是後焦距鏡頭，最近也在大範圍变焦镜头（像是尼康 18–200 mm）上出現。

在光學儀器中（例如双筒望远镜）會有一些枕状畸变，目的是為了抵消Template:Link-en。

在理解這類畸变時，需記得這些是徑向畸變，探討的光學系統有旋转对称（省略非徑向的缺陷），因此正確的測試影像會是一組均勻分隔的同心圓（類似箭靶）。可以看出這些畸變會讓同心圓變成不是均勻分隔。像枕状畸变就是外圍的圓圈彼此之間的距離會較遠。而桶状畸变就是外圍的圓圈彼此之間的距離會較近。

軟體修正

徑向畸變主要是以低階徑向成份為主^[3]，可以用Brown畸變模型來修正^[4]，因為Conrady早期的研究，也稱為Brown–Conrady模型^[5]。 Brown–Conrady模型可以修正徑向畸變以及因為各鏡頭沒有對正而產生的切線畸變。切線畸變也稱為「離心畸變」。可參考Zhang^[6]有關徑向畸變的進一步討論。Brown-Conrady畸變模型為

$\begin{matrix} x_{u} = x_{d} & + (x_{d} - x_{c}) (K_{1} r^{2} + K_{2} r^{4} + \dots) + (P_{1} (r^{2} + 2 (x_{d} - x_{c})^{2}) \\ + 2 P_{2} (x_{d} - x_{c}) (y_{d} - y_{c})) (1 + P_{3} r^{2} + P_{4} r^{4} \dots) \\ y_{u} = y_{d} & + (y_{d} - y_{c}) (K_{1} r^{2} + K_{2} r^{4} + \dots) + (2 P_{1} (x_{d} - x_{c}) (y_{d} - y_{c}) \\ + P_{2} (r^{2} + 2 (y_{d} - y_{c})^{2})) (1 + P_{3} r^{2} + P_{4} r^{4} \dots), \end{matrix}$

其中

$(x_{d}, y_{d})$ 是用特定透鏡透視到影像平面的畸變影像點
$(x_{u}, y_{u})$ 是用理想針孔相機透視到影像平面的無畸變影像點
$(x_{c}, y_{c})$ 是畸變中心
$K_{n}$ 是第 $n$ 次徑向畸變係數
$P_{n}$ 是第 $n$ 次切線畸變係數
$r$ = $\sqrt{(x_{d} - x_{c})^{2} + (y_{d} - y_{c})^{2}}$ ，畸變點以及畸變中心的欧几里得距离^[3]

桶狀畸變的 $K_{1}$ 會是負值，而枕狀畸變對應值則是正值。鬍狀畸變會有非單調的徑向畸變幾何數列，在特定的 $r$ 處會變號。

若要為軸向畸變建模，以下的除法模型^[7]可以有比Brown-Conrady偶數階模型更準確的結果^[8]。

$\begin{matrix} x_{u} & = x_{c} + \frac{x_{d} - x_{c}}{1 + K_{1} r^{2} + K_{2} r^{4} + \dots} \\ y_{u} & = y_{c} + \frac{y_{d} - y_{c}}{1 + K_{1} r^{2} + K_{2} r^{4} + \dots}, \end{matrix}$

參數和以前定義的相同。針對軸向畸變，此模型比Brown–Conrady模型要好用，需要的項次較少，即可更精確的描述嚴重的畸變^[8]。若使用此模型，大部份的相機只需要一項即可描述^[9]。

軟體可以用图像扭转的作法，對圖像加反向的畸變來復原影像。這需要確認已畸變的像素對應未畸變的哪一個像素，因為模型非線性，此對應不是顯然的。

畸變或去畸變都需要兩組係數，或是找到非線性模型的反函數，一般來言，反函數是沒有解析解的。標準的作法包括近似、局部線性化以及迭代法都可以使用。各精準度以及計算需要的資源各有不同。

若是使用一階的除法模型，其去畸變問題存在解析解^[8]，畸變的像素為

$\begin{matrix} x_{d} & = x_{c} + \frac{x_{u} - x_{c}}{2 K_{1} r_{u}^{2}} (1 - \sqrt{1 - 4 K_{1} r_{u}^{2}}) \\ y_{d} & = y_{c} + \frac{y_{u} - y_{c}}{2 K_{1} r_{u}^{2}} (1 - \sqrt{1 - 4 K_{1} r_{u}^{2}}), \end{matrix}$

其中

$r_{u}$ = $\sqrt{(x_{u} - x_{c})^{2} + (y_{u} - y_{c})^{2}}$ 是點相對中心的歐氏距離。

参考文献

↑ Warren J. Smith,Modern Optical Engineering, McGraw Hill, 1966
↑ Template:Cite web
↑ ^3.0 ^3.1 Template:Cite conference
↑ Template:Cite journal
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↑ Template:Cite tech report
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↑ ^8.0 ^8.1 ^8.2 Template:Cite conference
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Template:应用光学

[moe-1] Warren J. Smith,Modern Optical Engineering, McGraw Hill, 1966

[van_Walree-2] Template:Cite web

[devilliers-3] 3.0 ^3.1 Template:Cite conference

[brown-4] Template:Cite journal

[5] Template:Cite journal

[zhang-6] Template:Cite tech report

[fitzgibbon-7] Template:Cite conference

[bukhari-8] 8.0 ^8.1 ^8.2 Template:Cite conference

[wang-9] Template:Cite conference

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