理查德森外推法

数值分析中，理查德森外推法(Richardson extrapolation)用以改善级数序列收敛效率，它是在20世纪前期由英国数学家，物理学家，气象学家Lewis Fry Richardson提出的。在数值分析领域，Richardson外推法有很多实际应用，如Romberg's method，是在梯形公式的基础上应用Richardson外推法导出的；还有用于求解常微分方程的Bulirsch–Stoer算法。

推导

假定某一函数$D$可数值近似（离散化）为$D\left(h\right)$，其中$h$为步长，

$D=D\left(h\right)+a{h}^p+b{h}^q+\dots$ （1）

其中$p$为首项阶数，$q$下一项阶数, 满足$q>p$。

考虑该函数又可以使用同样的数值近似方法，以步长为$h_2$做离散近似

$D=D\left(h_2\right)+a{h}_2^p+b{h}_2^q+\dots$ （2）

如果希望消掉式(1)中的$h^p$项，我们可以对以上两式相减，即(1)$-r$(2)，其中$r={\left(\frac{h}{h_2}\right)}^p$：

$(1-r)D=D\left(h\right)+a{h}^p+b{h}^q-rD\left(h_2\right)-ra{h}_2^p-rb{h}_2^q+\dots =D\left(h\right)-rD\left(h_2\right)+a\underset{0}{\underbrace{(h^p-r{h}_2^p)}}+b(h^q-r{h}_2^q)$

$(1-r)D=D\left(h\right)-rD\left(h_2\right)+b(h^q-r{h}_2^q)$

$D=\frac{D\left(h\right)-rD\left(h_2\right)}{1-r}+\frac{b(h^q-r{h}_2^q)}{1-r}=\frac{D\left(h\right)-rD\left(h_2\right)}{1-r}+\frac{b(1-r\frac{h_2^q}{h^q})h^q}{1-r}$

$D=\frac{D\left(h\right)-rD\left(h_2\right)}{1-r}+\frac{b(1-{\left(\frac{h}{h_2}\right)}^p{\left(\frac{h_2}{h}\right)}^q)h^q}{1-r}=\underset{D^{\ast }\left(h\right)}{\underbrace{\frac{D\left(h\right)-rD\left(h_2\right)}{1-r}}}+\underset{b^{\ast }}{\underbrace{\frac{b(1-{\left(\frac{h_2}{h}\right)}^{q-p})}{1-r}}}{h}^q$

或简记作：

$\therefore D=D^{\ast }\left(h\right)+b^{\ast }{h}^q$

$D^{\ast }(h)$代替了$D(h)$，为$D$的新的数值近似。新近似相比最初形式具有更高阶的误差项，数值精度由此提高，此方法即为理查德森外推法。

示例

应用理查德森方法，改善用于近似微分的中心差分公式

$f^{\prime }\left(x_n\right)=\underset{D\left(h\right)}{\underbrace{\frac{f(x_n+h)-f(x_n-h)}{2h}}}-\underset{a}{\underbrace{\frac{f^{‴}\left(x_n\right)}{6}}}{h}^2-\underset{b}{\underbrace{\frac{f^{\left(5\right)}\left(x_n\right)}{120}}}{h}^4$

则由式(1)可知$p=2,q=4$, $h_2=2h,r={\left(\frac{1}{2}\right)}^p=\frac{1}{4}$ 代入公式：

$D^{\ast }=\frac{D\left(h\right)-rD\left(h_2\right)}{1-r}=\frac{\frac{f(x_n+h)-f(x_n-h)}{2h}-\frac{1}{4}\frac{f(x_n+2h)-f(x_n-2h)}{4h}}{1-\frac{1}{4}}$

$D^{\ast }=\frac{8[f(x_n+h)-f(x_n-h)]-f(x_n+2h)+f(x_n-2h)}{12h}$

由此，中心差分公式精度由2阶变为4阶。

参考文献

• Extrapolation Methods. Theory and Practice by C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, North-Holland, 1991.

外部链接

• Module for Richardson's Extrapolation, fullerton.edu
• Fundamental Methods of Numerical Extrapolation With Applications Template:Wayback, mit.edu
• Richardson-Extrapolation Template:Wayback
• Richardson extrapolation on a website of Robert Israel (University of British Columbia) Template:Wayback