狄利克雷原理

Template:Otheruses 在数学中的位势论里，狄利克雷原理是关于在 ${ℝ}^n$ 中的某个区域 $\mathrm{\Omega }$ 上的泊松方程

$\mathrm{\Delta }u+f=0$

满足边界条件

在 $\partial \mathrm{\Omega }$ 上 $u=g$

的解 u(x) 的刻画。原理说明，u(x) 是使得狄利克雷势能

$E[v]=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(\frac{1}{2}|\mathrm{\nabla }v{|}^2-vf)\mathrm{d}x$

最小的几乎处处二次可导，并且在边界 $\partial \mathrm{\Omega }$ 上满足 $v=g$ 的函数 $v$（如果至少存在一个函数使得以上的积分成立的话）。这个原理得名于德国数学家勒热纳·狄利克雷。

由于以上的狄利克雷积分是下有界的，因此必然存在一个下确界。黎曼和其他的数学家都认为下确界一定能够达到，直到魏尔斯特拉斯举出了一个无法达到下确界的泛函的例子。后来希尔伯特严格证明了黎曼对狄利克雷原理的使用之正当性。

证明

以下给出 $g=0$ 时的证明。假设 u 是使得

$E[v]=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(\frac{1}{2}|\mathrm{\nabla }v{|}^2-vf)\mathrm{d}x$

最小的并且几乎处处二次可导，并且在边界$\partial \mathrm{\Omega }$上满足$v=0$的函数$v$，那么对于任意一个满足边界条件的函数 $w$，任意正实数$\epsilon$都有：

$E[u+\epsilon w]=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(\frac{1}{2}|\mathrm{\nabla }u+\epsilon \mathrm{\nabla }w{|}^2-uf-\epsilon wf)\mathrm{d}x⩾\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(\frac{1}{2}|\mathrm{\nabla }u{|}^2-uf)\mathrm{d}x$

即

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(\epsilon \mathrm{\nabla }u\cdot \mathrm{\nabla }w+\frac{1}{2}{\epsilon }^2|\mathrm{\nabla }w{|}^2-\epsilon wf)\mathrm{d}x⩾0$

上式左侧是一个关于$\epsilon$的二次多项式，并且在 $\epsilon =0$ 的时候取到最小值，所以有：

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(\mathrm{\nabla }u\cdot \mathrm{\nabla }w-wf)\mathrm{d}x=0$

另一方面，由于函数 $w$ 满足边界条件，即在 $\partial \mathrm{\Omega }$ 上满足 $w=0$，因此有：

$\begin{array}{cc}0& =\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }w(\mathrm{\nabla }u\cdot 𝐧)\mathrm{d}\sigma =\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{div}(w\cdot \mathrm{\nabla }u)\mathrm{d}x\\ & =\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(w\mathrm{\Delta }u+\mathrm{\nabla }u\cdot \mathrm{\nabla }w)\mathrm{d}x=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }w(\mathrm{\Delta }u+f)\mathrm{d}x\end{array}$

这个结果对所有满足边界条件的函数 $w$ 都成立，因此根据變分法基本引理，可以得到$\mathrm{\Delta }u+f=0$

参见

• 普拉托问题
• 格林第一公式

参考来源

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