狀態轉移矩陣

狀態轉移矩陣（state-transition matrix）是控制理論中的矩陣，是時間$t$和初始時間$t_0$的函數，可以將時間$t_0$的狀態向量$x$和此矩陣相乘，得到時間$t$時的狀態向量$x$。狀態轉移矩陣可以用來找線性動態系統的通解。

線性系統的解

狀態轉移矩陣用來找以下形式線性系統在状态空间下的解：

$\dot{𝐱}(t)=𝐀(t)𝐱(t)+𝐁(t)𝐮(t),𝐱(t_0)={𝐱}_0$,

其中$𝐱(t)$為系統狀態，$𝐮(t)$為輸入信號，而${𝐱}_0$為時間$t_0$時的初始條件。利用狀態轉移矩陣$\mathrm{\Phi }(t,\tau )$，其解如下：

$𝐱(t)=\mathrm{\Phi }(t,t_0)𝐱(t_0)+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\mathrm{\Phi }(t,\tau )𝐁(\tau )𝐮(\tau )d\tau$

第一項為零輸入響應（zero-input response），第二項為零狀態響應（zero-state response）。

Peano-Baker級數解

更廣義的狀態轉移矩陣可以用Peano-Baker級數解求得

$\mathrm{\Phi }(t,\tau )=𝐈+\underset{\tau }{\overset{t}{\int }}𝐀({\sigma }_1)d{\sigma }_1+\underset{\tau }{\overset{t}{\int }}𝐀({\sigma }_1)\underset{\tau }{\overset{{\sigma }_1}{\int }}𝐀({\sigma }_2)d{\sigma }_{2}d{\sigma }_1+\underset{\tau }{\overset{t}{\int }}𝐀({\sigma }_1)\underset{\tau }{\overset{{\sigma }_1}{\int }}𝐀({\sigma }_2)\underset{\tau }{\overset{{\sigma }_2}{\int }}𝐀({\sigma }_3)d{\sigma }_{3}d{\sigma }_{2}d{\sigma }_1+...$

其中$𝐈$為單位矩陣。此矩陣均勻收斂到一個存在而且唯一的解，而且是絕對收斂。

其他性質

狀態轉移矩陣$\mathrm{\Phi }(t,\tau )$可以表示為下式

$\mathrm{\Phi }(t,\tau )\equiv 𝐔(t){𝐔}^{-1}(\tau )$

其中$𝐔(t)$為Template:Le，滿足下式

$\dot{𝐔}(t)=𝐀(t)𝐔(t)$

狀態轉移矩陣是$n\times n$的矩陣，是會映射到本身的线性映射。若$𝐮(t)=0$，再給定任意時間$\tau$下的狀態$𝐱(\tau )$，另一個時間$t$的狀態可由以下映射求得

$𝐱(t)=\mathrm{\Phi }(t,\tau )𝐱(\tau )$

狀態轉移矩陣恆滿足以下的關係：

$\frac{\partial \mathrm{\Phi }(t,t_0)}{\partial t}=𝐀(t)\mathrm{\Phi }(t,t_0)$ and

$\mathrm{\Phi }(\tau ,\tau )=I$對於所有的$\tau$，其中$I$為單位矩陣。

$\mathrm{\Phi }$也有以下的性質：

1.	$\mathrm{\Phi }(t_2,t_1)\mathrm{\Phi }(t_1,t_0)=\mathrm{\Phi }(t_2,t_0)$
2.	${\mathrm{\Phi }}^{-1}(t,\tau )=\mathrm{\Phi }(\tau ,t)$
3.	${\mathrm{\Phi }}^{-1}(t,\tau )\mathrm{\Phi }(t,\tau )=I$
4.	$\frac{d\mathrm{\Phi }(t,t_0)}{dt}=𝐀(t)\mathrm{\Phi }(t,t_0)$

若系統是时不变系统，可以將$\mathrm{\Phi }$定義為

$\mathrm{\Phi }(t,t_0)=e^{𝐀(t-t_0)}$

在時變系統的例子中，可能有許多不同的函數滿足上述條件，而解和系統的結構有關。在分析時變系統的解之前，需要先確定其狀態轉移矩陣。

註解

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