焦散线

微分几何中，焦散线（caustic）指由流形反射或折射的射线的包络线。这与几何光学中的焦散现象有关。射线的来源可以是点（辐射点，radiant）或来自无穷远处某点的平行射线，这时要指定射线的方向向量。

一般来说，应用于辛几何与奇点理论中的焦散线指拉格朗日映射 $(π \circ i) : L ↪ M ↠ B$ 的临界值集，其中 $i : L ↪ M$ 是拉格朗日子流形L到辛流形M的拉格朗日浸入， $π : M ↠ B$ 是辛流形M的拉格朗日纤维化。焦散是拉格朗日纤维化基空间B的子集。^[1]

解释

集中的光线（如阳光）会灼伤人。“焦散”（caustic）一词来自希腊语καυστός“烧焦”，途经拉丁语causticus“燃烧”。

光线照射在酒杯上时，就会出现焦散现象。玻璃杯会投射出阴影，也会产生弯曲的亮区。在理想情况下（包括平行光射入时）会产生肾形光斑。^[2]^[3]光线穿过波浪照射在水体上时，通常会形成波纹状的焦散线。

彩虹是人们熟悉的另一种焦散现象。^[4]^[5]雨滴对光的散射会使不同波长的光折射成半径不同的弧线，从而产生彩虹。

回光线（catacaustic）是反射的情形。

对于点光源，它是辐射点正交（orthotomic）的渐屈线。

平面平行光源情况：假设方向向量是 $(a, b)$ ，镜面曲线参数化为 $(u (t), v (t))$ 。某点的法向量为 $(- v^{'} (t), u^{'} (t))$ ；方向向量的反射为（法向量需要特殊归一化处理）

2 {proj}_{n} d - d = \frac{2 n}{\sqrt{n \cdot n}} \frac{n \cdot d}{\sqrt{n \cdot n}} - d = 2 n \frac{n \cdot d}{n \cdot n} - d = \frac{(a v'^{2} - 2 b u^{'} v^{'} - a u'^{2}, b u'^{2} - 2 a u^{'} v^{'} - b v'^{2})}{v'^{2} + u'^{2}}

将找到的反射向量的分量视作切线

(x - u) (b u'^{2} - 2 a u^{'} v^{'} - b v'^{2}) = (y - v) (a v'^{2} - 2 b u^{'} v^{'} - a u'^{2}) .

使用最简单的包络线形式

F (x, y, t) = (x - u) (b u'^{2} - 2 a u^{'} v^{'} - b v'^{2}) - (y - v) (a v'^{2} - 2 b u^{'} v^{'} - a u'^{2})

= x (b u'^{2} - 2 a u^{'} v^{'} - b v'^{2}) - y (a v'^{2} - 2 b u^{'} v^{'} - a u'^{2}) + b (u v'^{2} - u u'^{2} - 2 v u^{'} v^{'}) + a (- v u'^{2} + v v'^{2} + 2 u u^{'} v^{'})

F_{t} (x, y, t) = 2 x (b u^{'} u^{″} - a (u^{'} v^{″} + u^{″} v^{'}) - b v^{'} v^{″}) - 2 y (a v^{'} v^{″} - b (u^{″} v^{'} + u^{'} v^{″}) - a u^{'} u^{″})

+ b (u^{'} v'^{2} + 2 u v^{'} v^{″} - u'^{3} - 2 u u^{'} u^{″} - 2 u^{'} v'^{2} - 2 u^{″} v v^{'} - 2 u^{'} v v^{″}) + a (- v^{'} u'^{2} - 2 v u^{'} u^{″} + v'^{3} + 2 v v^{'} v^{″} + 2 v^{'} u'^{2} + 2 v^{″} u u^{'} + 2 v^{'} u u^{″})

这可能不美观，但 $F = F_{t} = 0$ 给出了 $(x, y)$ 中的线性系统，因此获得回光线的参数是很简单的，用克莱姆法则就可以。

令方向向量为(0,1)，镜面为 $(t, t^{2}) .$ 则

u^{'} = 1

u^{″} = 0

v^{'} = 2 t

v^{″} = 2

a = 0

b = 1

F (x, y, t) = (x - t) (1 - 4 t^{2}) + 4 t (y - t^{2}) = x (1 - 4 t^{2}) + 4 t y - t

F_{t} (x, y, t) = - 8 t x + 4 y - 1

且 $F = F_{t} = 0$ 有解 $(0, 1 / 4)$ ；即光线平行于抛物镜面的轴线进入，会通过焦点反射。