無窮元組合學

數學分支無窮元組合學（infinitary combinatorics），又稱組合集合論（combinatorial set theory），是將組合學的想法推廣到無窮集。研究對象有連續圖、集合論的樹、拉姆齊定理在無窮集的推廣、馬丁公理。在2010年，本分支的開展的研究還有：連續統上的組合學、Template:Le後繼上的組合學。

無窮集的拉姆齊理論

設$\kappa ,\lambda$為序數，$m$為基數，$n$為正整數。Template:Harvtxt引入記號

$\kappa \to (\lambda {)}_m^n$

作為下列命題的速記：

若將$\kappa$所有$n$元子集的集合$[\kappa {]}^n$，分劃為$m$份，則有一份包含序型為$\lambda$的同質集。

所謂同質集，意思是$\kappa$的子集，且其所有$n$元子集皆在同一個分塊中。也可以用染色的說法：

若有$m$種色，並將$\kappa$的每個$n$元子集，各染一種色，則必有序型為$\lambda$的同色集，即其所有$n$元子集皆同色。

當$m$為$2$時，可省略不寫。

假設選擇公理（AC），則不存在序數$\kappa$使得$\kappa \to (\omega {)}^{\omega }$。此即上段取$n$有限的原因。雖然不允許$n$為無窮大，但仍可以同時考慮任意大的$n$。符號

$\kappa \to (\lambda {)}_m^{<\omega }$

表示命題「若將$\kappa$的所有有限子集染成$m$種色，則有序型為$\lambda$的子集$X$，使得其對每個$n$，$X$的所有$n$元子集皆同色。」（但不同的$n$之間，無需同色。）同樣，當$m$為$2$時，可省略不寫。

還有變式： $\kappa \to (\lambda ,\mu {)}^n$ 表示「若將$\kappa$的所有$n$元子集染成紅、藍兩色，則或有序型為$\lambda$的子集，其所有$n$元子集皆為紅，或有序型為$\mu$的子集，其所有$n$元子集皆為藍。」

可以此記號表示的命題有：（下設$\kappa$為基數）

${\mathrm{\aleph }}_0\to ({\mathrm{\aleph }}_0{)}_k^n$對所有有限的$n,k$成立（拉姆齊定理）。

${\beth }_n^{+}\to ({\mathrm{\aleph }}_1{)}_{{\mathrm{\aleph }}_0}^{n+1}$（Template:Le）。

$2^{\kappa }\to ̸({\kappa }^{+}{)}^2$（謝爾賓斯基定理）

$2^{\kappa }\to ̸(3{)}_{\kappa }^2$

$\kappa \to (\kappa ,{\mathrm{\aleph }}_0{)}^2$ (Template:Le）。

在無選擇（choiceless，即選擇公理不成立）的宇集中，上標為無窮的分劃性質有可能成立。有部分是決定公理（AD）的推論，例如，Template:Le證明，AD推出

${\mathrm{\aleph }}_1\to ({\mathrm{\aleph }}_1{)}_2^{{\mathrm{\aleph }}_1}.$

大基數

Template:Main 一些大基數性質是用拉姆齊性質定義，如：

• Template:Le$\kappa$滿足$\kappa \to (\kappa {)}^2$；
• Template:Le$\kappa$是滿足$\kappa \to (\alpha {)}^{\omega }$的最小基數；
• Template:Le$\kappa$滿足$\kappa \to (\kappa {)}^{\omega }$。

參考文獻

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