混合規則

複合材料彈性模數的上限和下限，下限為此處給出的混合規則所預測，但上限大於此處給出的混合規則。 實際彈性模數介於曲線之間。

在材料科學中，混合規則是用來預測複合材料的各種性能的平均值。 它提供了彈性模數、極限拉伸強度、熱導率和導電度等特性的理論上下限。 通常會使用兩種模型，一種用於軸向負載（Voigt 模型） ，一種用於横向負載（Reuss 模型）。

一般來說，對於某些物理性質，如彈性模數 $E$ ，混合規則指出，平行於纖維方向上的整體性能可達：

$E_c=f{E}_f+(1-f)E_m$

其中

• $f=\frac{V_f}{V_f+V_m}$是纖維占整體的體積比例
• $E_f$ 是纖維的材料性質
• $E_m$ 是基材的材料性質

常犯的錯誤是以為這是楊氏模數的上限。實際上這個公式给出楊氏模數上限大於 $E_c$。即使兩個都是等向性(Isotropic)材料，真正的上限是 $E_c$ 加上兩個成分泊松比之差的平方。

混合逆規則表明，在垂直於纖維的方向上，複合材料的彈性模數可以低至

$E_c={(\frac{f}{E_f}+\frac{1-f}{E_m})}^{-1}.$

如果所要研究的是彈性模數，則這就稱為下限模數，對應横向負載。

彈性模量的推導

Voigt模數

考慮單軸拉伸下的複合材料${\sigma }_{\mathrm{\infty }}$ 。如果材料要保持完整， ${ϵ}_f$ (纖維的應變) 必須等於 ${ϵ}_m$(基材的應變) 。單軸張力的虎克定律给出Template:NumBlk在這裡${\sigma }_f$, $E_f$, ${\sigma }_m$, $E_m$分别是纖維和基材的應力和彈性模數。注意到應力的定義是每單位面積的力[N/m^2]，力平衡给出：Template:NumBlk這裡$f$是複合材料中纖維的體積比例（並且$1-f$是基材的體積比例）。

如果假設複合材料表現為線彈性材料，即遵守虎克定律${\sigma }_{\mathrm{\infty }}=E_c{ϵ}_c$對於複合材料的某些彈性模數$E_c$以及複合材料的一些應變${ϵ}_c$ ，那麼等式 (1) 和 (2) 可以結合起来给出

$E_c{ϵ}_c=f{E}_f{ϵ}_f+(1-f)E_m{ϵ}_m.$

最後，自从${ϵ}_c={ϵ}_f={ϵ}_m$ ，複合材料的整體彈性模數可表示為

$E_c=f{E}_f+(1-f)E_m.$

Reuss 模數

現在在複合材料垂直於纖維方向施加負載，假設${\sigma }_{\mathrm{\infty }}={\sigma }_f={\sigma }_m$ 。複合材料中的總應變分布在材料之間，使得：

${ϵ}_c=f{ϵ}_f+(1-f){ϵ}_m.$

材料的總模數如下式所示：

$E_c=\frac{{\sigma }_{\mathrm{\infty }}}{{ϵ}_c}=\frac{{\sigma }_f}{f{ϵ}_f+(1-f){ϵ}_m}={(\frac{f}{E_f}+\frac{1-f}{E_m})}^{-1}$

因為${\sigma }_f=E{ϵ}_f$, ${\sigma }_m=E{ϵ}_m$ 。

其他特性

類似的推導给出了混合規則

• 質量密度： \rho_c=\rho_f\centerdot f+\rho_M\centerdot (1-f)$${\rho }_c={\rho }_f\cdot f+{\rho }_M\cdot (1-f)$$
• 極限拉伸強度： $${(\frac{f}{{\sigma }_{UTS,f}}+\frac{1-f}{{\sigma }_{UTS,m}})}^{-1}\le {\sigma }_{UTS,c}\le f{\sigma }_{UTS,f}+(1-f){\sigma }_{UTS,m}$$
• 熱導率： $${(\frac{f}{k_f}+\frac{1-f}{k_m})}^{-1}\le k_c\le f{k}_f+(1-f)k_m$$
• 導電度： $${(\frac{f}{{\sigma }_f}+\frac{1-f}{{\sigma }_m})}^{-1}\le {\sigma }_c\le f{\sigma }_f+(1-f){\sigma }_m$$

參見

當考慮化合物的某些物理性質和化學成分的經驗相關性時，其他關係、規則或定律也非常類似於混合規則：

• 阿马加特定律– 氣體部分體積定律
• Gladstone–Dale 方程– 液體、玻璃和晶體的光學分析
• 柯普定律– 使用質量百分比
• 柯普-诺依曼定律– 合金的比熱容
• 維加德定律– 晶格參數

外部連結

• 混合規則計算機