涡量方程

涡量方程（Template:Lang-en）是流体力学中描述流体质点涡量变化的方程。可压缩牛顿流体的涡量方程表达式为：

$\begin{array}{cc}\frac{D\mathit{\omega }}{Dt}& =\frac{\partial \mathit{\omega }}{\partial t}+(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })\mathit{\omega }\\ & =(\mathit{\omega }\cdot \mathrm{\nabla })𝐮-\mathit{\omega }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)+\frac{1}{{\rho }^2}\mathrm{\nabla }\rho \times \mathrm{\nabla }p+\mathrm{\nabla }\times \left(\frac{\mathrm{\nabla }\cdot \tau }{\rho }\right)+\mathrm{\nabla }\times \left(\frac{B}{\rho }\right)\end{array}$

其中Template:Math表示物质导数，Template:Math为流速，Template:Mvar为流体密度，Template:Mvar为压强，Template:Mvar为粘性应力张量，Template:Math为流体所受外力。方程右边第一项表示涡旋伸展。使用爱因斯坦求和约定指标记号，上式又可写作

$\begin{array}{cc}\frac{d{\omega }_i}{dt}& =\frac{\partial {\omega }_i}{\partial t}+v_j\frac{\partial {\omega }_i}{\partial x_j}\\ & ={\omega }_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}-{\omega }_i\frac{\partial v_j}{\partial x_j}+e_{ijk}\frac{1}{{\rho }^2}\frac{\partial \rho }{\partial x_j}\frac{\partial p}{\partial x_k}+e_{ijk}\frac{\partial }{\partial x_j}\left(\frac{1}{\rho }\frac{\partial {\tau }_{km}}{\partial x_m}\right)+e_{ijk}\frac{\partial B_k}{\partial x_j}\end{array}$

对于保守外力作用下的不可压缩流体，涡量方程可以简化为

$\frac{D\mathit{\omega }}{Dt}=(\mathit{\omega }\cdot \mathrm{\nabla })𝐮+\nu {\mathrm{\nabla }}^2\mathit{\omega }$

其中Template:Mvar为运动黏度，Template:Math为拉普拉斯算符。

参考文献

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