泰勒斯定理

泰勒斯定理：如果$AC$是直径，那么$\mathrm{\angle }ABC$是直角。

泰勒斯定理（Template:Lang-en）以古希腊思想家、科学家、哲学家泰勒斯的名字命名，其内容为：若$A$, $B$, $C$是圆周上的三點，且$AC$是该圆的直徑，那么$\mathrm{\angle }ABC$必然為直角。或者说，直径所对的圆周角是直角。该定理在欧几里得《几何原本》第三卷中被提到并证明。

泰勒斯定理的逆定理同样成立，即：直角三角形中，直角的顶点在以斜边为直径的圆上。

證明

证法一

以下證明主要使用兩個定理：

• 三角形的內角和等於180°
• 等腰三角形的兩個底角相等

設$O$為圓心，因為$OA=OB=OC$，所以$△OAB$和$△OBC$都是等腰三角形。因為等腰三角形底角相等，故有$\mathrm{\angle }OBC=\mathrm{\angle }OCB$，且$\mathrm{\angle }BAO=\mathrm{\angle }ABO$。設$\alpha =\mathrm{\angle }BAO$，$\beta =\mathrm{\angle }OBC$。在$△ABC$中，因为三角形的内角和等于180°，所以有

$\alpha +(\alpha +\beta )+\beta =180^{\circ }$

$2\alpha +2\beta =180^{\circ }$

$2(\alpha +\beta )=180^{\circ }$

$\therefore \mathrm{\angle }ABC=\alpha +\beta =90^{\circ }.$

证法二

泰勒斯定理也可以用三角学方法证明，证明如下：

令$O=(0,0)$, $A=(-1,0)$, $C=(1,0)$。此时，$B$就是单位圆$(\cos \theta ,\sin \theta )$上的一点。我们将通过证明$AB$与$BC$垂直，即它们的斜率之积等于–1，来证明这个定理。计算$AB$和$BC$的斜率：

$m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{\sin \theta }{\cos \theta +1}$

$m_{BC}=\frac{y_B-y_C}{x_B-x_C}=\frac{\sin \theta }{\cos \theta -1}$

并证明它们的积等于–1:

$\begin{array}{cc}& m_{AB}\cdot m_{BC}\\ =& \frac{\sin \theta }{\cos \theta +1}\cdot \frac{\sin \theta }{\cos \theta -1}\\ =& \frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta -1}\\ =& \frac{{\sin }^2\theta }{-{\sin }^2\theta }\\ =& -1\end{array}$

注意以上证明过程中运用了毕达哥拉斯三角恒等式${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$。

逆定理的證明

此證明使用兩線的向量形成直角三角形，若且唯若其內積為零。設有直角三角形$ABC$，和以$AC$為直徑的圓$O$。設$O$在原點，以方便計算。则$AB$和$BC$的內積為：

$(A-B)\cdot (B-C)=(A-B)\cdot (B+A)=|A{|}^2-|B{|}^2=0$

$|A|=|B|$

故$A$和$B$與圓心等距，即$B$在圆上。

一般化以及有关定理

泰勒斯定理是「同弧所对的圓周角是圓心角的一半」的一個特殊情況。

以下是泰勒斯定理的一个相关定理：

如果$AC$是一个圆的直径，则：

• 若$B$在圆内，则$\mathrm{\angle }ABC>90^{\circ }$
• 若$B$在圆上，则$\mathrm{\angle }ABC=90^{\circ }$
• 若$B$在圆外，则$\mathrm{\angle }ABC<90^{\circ }$

歷史

泰勒斯並非此定理的首名發現者，古埃及人和巴比倫人一定已知這特性，可是他們沒有給出證明。