泊松求和公式

泊松求和公式（英文：Template:Lang）由法國數學家泊松所發現，它陳述了一個連續時間的信號，做無限多次的週期複製後，其傅立葉級數與其傅立葉轉換之間數值的關係，亦可用來求周期信號的傅立葉轉換。

公式

设无周期函数$s(x)$具有傅里叶变换：

$S(f)\triangleq \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}s(x)e^{-i2\pi fx}dx$

这里的$S(f)$也可以替代表示为$\hat{s}(f)$和 $ℱ\{s\}(f)$。有如下基本的泊松求和公式：

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}s(n)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}S(k)$

对于二者通过Template:En-link而得到的周期函数：

$s_{{}_P}(x)\triangleq \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}s(x+nP),n\in \mathbb{Z}$

$S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}S(f+k/T),k,T\in \mathbb{Z}$

这里的参数$T>0$并且$P>0$，它们有着同$x$一样的单位。有如下普遍的泊松求和公式：

$s_{{}_P}(x)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\underset{S[k]}{\underbrace{\frac{1}{P}\cdot S(k/P)}}{e}^{i2\pi \frac{k}{P}x},k\in \mathbb{Z}$

这是一个傅里叶级数展开，其系数是函数$S(f)$的采样。还有：

$S_{1/T}(f)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\underset{s[n]}{\underbrace{T\cdot s(nT)}}{e}^{-i2\pi nTf},n,T\in \mathbb{Z}$

这也叫做离散时间傅里叶变换。

推導泊松求和公式所需的先備公式

考慮狄拉克δ函數$\delta (t)$，製作一個有無限多個$\delta (t)$，且間隔為$T_0$的週期函數$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-n{T}_0)$。

其傅立葉轉換為①$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-j2\pi n{T}_{0}f}=$②$\frac{1}{T_0}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (f-\frac{n}{T_0})$

證明①轉換對

$ℱ\{\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-n{T}_0)\}$=$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}ℱ\{\delta (t-n{T}_0)\}$ =$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-j2\pi n{T}_{0}f}$。

證明②轉換對

設$c_n$為週期函數$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-n{T}_0)$的傅立葉級數。

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-n{T}_0)$可表示為$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{j2\pi n\frac{t}{T_0}}$。

由傅立葉級數得:

$c_n=\frac{1}{T_0}\underset{-\frac{T_0}{2}}{\overset{\frac{T_0}{2}}{\int }}\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-m{T}_0)e^{-j2\pi n\frac{t}{T_0}}dt=\frac{1}{T_0}\underset{-\frac{T_0}{2}}{\overset{\frac{T_0}{2}}{\int }}\delta (t)e^{-j2\pi n\frac{t}{T_0}}dt=\frac{1}{T_0}\underset{-\frac{T_0}{2}}{\overset{\frac{T_0}{2}}{\int }}\delta (t)e^{-j2\pi n\frac{0}{T_0}}dt=\frac{1}{T_0}$。

因此，$ℱ\{\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-n{T}_0)\}=ℱ\left\{\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{j2\pi n\frac{t}{T_0}}\right\}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{T_0}ℱ\left\{e^{j2\pi n\frac{t}{T_0}}\right\}=\frac{1}{T_0}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (f-n\frac{1}{T_0})$。

得到等式:$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-j2\pi n{T}_{0}f}=$$\frac{1}{T_0}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (f-\frac{n}{T_0})$，

經由適當的變量代換，$T_0$以$\frac{1}{T_0}$代換，$f$以$t$代換，得$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-n{T}_0)=\frac{1}{T_0}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-j2\pi n\frac{1}{T_0}t}=\frac{1}{T_0}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}$(因為n從負無限大到正無限大)

推導泊松求和公式

從對頻域做取樣尋找關係式

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(t-n{T}_0)$

$=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(t)*\delta (t-n{T}_0)$

$=x(t)*\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-n{T}_0)$

$=x(t)*\frac{1}{T_0}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}$

$=\frac{1}{T_0}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(t)*e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}$

$=\frac{1}{T_0}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau )e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}(t-\tau )}d\tau$

$=\frac{1}{T_0}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\{[\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau )e^{-j2\pi n\frac{1}{T_0}\tau }d\tau ]e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}\}$

$=\frac{1}{T_0}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(\frac{n}{T_0})e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}$

當$t=0$時，得$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(n{T}_0)=\frac{1}{T_0}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(\frac{n}{T_0})$，

表示一個信號的在時域以$T_0$為間隔做取樣，在頻域以$\frac{1}{T_0}$為間隔做取樣，則兩者的所有取樣點的總和會有$T_0$倍的關係。

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從對時域做取樣尋找關係式

$\frac{1}{T_0}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(f-\frac{n}{T_0})$

$=\frac{1}{T_0}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(f)*\delta (f-\frac{n}{T_0})$

$=X(f)*[\frac{1}{T_0}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (f-\frac{n}{T_0})]$

$=X(f)*\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-j2\pi n{T}_{0}f}$

$=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(f)*e^{-j2\pi n{T}_{0}f}$

$=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}X(\lambda )e^{-j2\pi n{T}_0(f-\lambda )}d\lambda$

$=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\{[\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}X(\lambda )e^{j2\pi n{T}_0\lambda }d\lambda ]e^{-j2\pi n{T}_{0}f}\}$

$=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(n{T}_0)e^{-j2\pi n{T}_{0}f}$

當$f=0$時，得$\frac{1}{T_0}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(\frac{n}{T_0})=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(n{T}_0)$，

表示一個信號的在時域以$T_0$為間隔做取樣，在頻域以$\frac{1}{T_0}$為間隔做取樣，則兩者的所有取樣點的總和會有$T_0$倍的關係。

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綜合上述，若時域取樣間隔$T_0=1$時，同樣地，頻域取樣間隔$\frac{1}{T_0}=1$時，得泊松求和公式$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(n)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(k)$。

週期信號的傅立葉轉換

考慮一個週期為$T_0$的週期信號$g(t)$，$G(f)$為$g(t)$的傅立葉轉換，取出g(t)在區間$[-\frac{T_0}{2},\frac{T_0}{2}]$的一個完整週期$x(t)$，亦即$x(t)=g(t)rect(\frac{t}{T_0})$，$X(f)$是$x(t)$的傅立葉轉換，其中$rect(t)$是矩形函數。$a_n$是$g(t)$的傅立葉級數。

則$G(f)$

$=ℱ\left\{\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}\right\}$

$=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\delta (f-\frac{n}{T_0})$

$=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{T_0}X(\frac{n}{T_0})\delta (f-\frac{n}{T_0})$

得出一週期信號的傅立葉轉換與其傅立葉級數之間的關係。

延伸阅读

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