殼層定理

殼層定理(Shell Theorem)是古典重力學上的理論，其可簡化重力於對稱球體內部和外部的貢獻，並且在天文學上有特別的應用。 殼層定理最先由牛頓在所推演出來，其闡明了

1. 球對稱物體對於球體外的重力貢獻如同將球體質量集中於球心。
2. 在對稱球體內部的物體不受其外部球殼的重力影響。

由殼層定理的結果亦可得知，在一質量均勻分布的球體，重力由表面至中心線性遞減至零。因為球殼不會對內部物體有重力之貢獻，而剩餘之質量(不包括球殼)是與r³成正比，而重力是正比於m/r²，因此重力與r³/r² = r成正比。 在星體運動的分析中，殼層定理是非常重要的，因為其隱含地表示可將星體視為一個質點來計算。除了重力之外，殼層定理亦可描述均勻帶電球體所貢獻的電場，或者是其他平方反比定律的物理現象。

推導

球體之外的重力

一個均勻實心的球體可視為由無限多個極薄的球殼所組成，而每個球殼均視為一個質點，所以先考慮以下灰色環狀區域:

Shell-diag-1

其中dθ是微分角度，非弧長。根據牛頓萬有引力定律，環狀區域對質點m的重力貢獻為

$d{F}_r=\frac{GmdM}{s^2}\cos \varphi .$

力的方向指向球心。將所有的dF_r積分，即為質點m之所受重力

$F_r=\int d{F}_r=Gm\int \frac{dM}{s^2}\cos \varphi .$

接著，將dM表成與θ相關的函數。總球殼面積為

$4\pi R^2$

而灰色環狀區域的面積為

$2\pi R\sin \theta \cdot Rd\theta .$

所以灰色環狀區域的質量dM可表為

$dM=\frac{2\pi R^2\sin \theta }{4\pi R^2}Md\theta .$

因此

$F_r=\frac{GMm}{2}\int \frac{\sin \theta \cos \varphi }{s^2}d\theta .$

由餘弦定理可知

$\cos \varphi =\frac{r^2+s^2-R^2}{2rs}$

$\cos \theta =\frac{r^2+R^2-s^2}{2rR}.$

θ由0積分至π，φ由0增加到最大值再遞減至0，s由r - R變化至r + R。積分計算的過程如下圖所示。

Shell-diag-1-anim

對前述之餘弦定理給出的關係式第二式做隱微分計算可得

$\sin \theta d\theta =\frac{s}{rR}ds.$

因此F_r可變數變換為

$F_r=\frac{GMm}{2rR}\int \frac{\cos \varphi }{s}ds=\frac{GMm}{4r^{2}R}\underset{r-R}{\overset{r+R}{\int }}(1+\frac{r^2-R^2}{s^2})ds$

所以

$F_r=\frac{GMm}{4r^{2}R}{(s-\frac{r^2-R^2}{s})}_{r-R}^{r+R}=\frac{GMm}{r^2}.$

即薄球殼貢獻之重力如同將所有質量集中於球心。 接著，將每一個薄球殼dM累加起來，即是實心球體對外部物體的重力貢獻

$F_{total}=\int d{F}_r=\frac{Gm}{r^2}\int dM.$

其中$\int dM$為所有薄球殼質量之總和，其實就是球體之質量，即

$F_{total}=\frac{GMm}{r^2}$

另外亦可以積分方式運算$\int dM$如下：

在距球心x到x + dx的球殼質量dM可寫為

$dM=\frac{4\pi x^{2}dx}{\frac{4}{3}\pi R^3}M=\frac{3M{x}^{2}dx}{R^3}$

因此

$F_{total}=\frac{3GMm}{r^2{R}^3}\underset{0}{\overset{R}{\int }}{x}^{2}dx=\frac{GMm}{r^2}$

即實心球對外部物體的重力貢獻如同將所有質量集中於球心。

球體之內的重力

球內重力情形可直接由球外重力F_r改變s之積分上下界推得，即自R - r積分至R + r，各參數的示意圖如下所示。

Shell-diag-2

所以薄球殼對內部物體的重力貢獻為

$F_r=\frac{GMm}{4r^{2}R}{(s-\frac{r^2-R^2}{s})}_{R-r}^{R+r}=0.$

即球內物體不受外球殼(無論厚薄)的重力影響。

注意，這邊的計算係積分質點m外的球殼(即R > r)，當R < r，即回到球體之外的重力情況。 若質點m在實心球內，只有半径小于r的那部分球体质量对质点m有净力作用，半径大于r的那部分球壳对m产生的重力场为0。小于 r 那部分球体的质量为

$M_r=\frac{r^3}{R^3}M.$

距离球心r处的重力场为

$g=\frac{G{M}_r}{r^2}=\frac{GMr}{R^3}.$

质点m受到这个实心球体产生的重力为

$F=\frac{GMmr}{R^3}=kr.$

k是一个常数， $k=\frac{GMm}{R^3}$。

推廣：假設質點重力的形式為$k/r^p$，那麼球殼內的重力為

$F_r=\frac{GMm}{4r^{2}R}\underset{R-r}{\overset{R+r}{\int }}(\frac{1}{s^{p-2}}+\frac{r^2-R^2}{s^p})ds$

上式只有當$p=2$時，F_r才會等於0。 同樣地，在球殼外的重力為

$F_r=\frac{GMm}{4r^{2}R}\underset{r-R}{\overset{r+R}{\int }}(\frac{1}{s^{p-2}}+\frac{r^2-R^2}{s^p})ds$