正规态射

在範疇論中，正规態射是一類可以自然地分解成單射與滿射的態射。使所有態射皆為正规態射的範疇稱為正规範疇。

定義

設$𝒞$為一個有有限射影極限與歸納極限的範疇。設$f:X\to Y$為態射。設$p_1,p_2:X{\times }_{Y}X\to X$為積的投影，而$i_1,i_2:Y\to Y{\bigsqcup }_{X}Y$為上積的內射。定義：

• 上像：$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{m}(f):=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(p_1,p_2)$
• 像：$\mathrm{I}\mathrm{m}(f):=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(i_1,i_2)$

根據極限性質，自然態射$X\to \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{m}(f)$是滿射，而$\mathrm{I}\mathrm{m}(f)\to Y$則是單射。此外還存在唯一一個態射$u:\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{m}(f)\to \mathrm{I}\mathrm{m}(f)$，使得合成態射

$X⟶\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{m}(f)\stackrel{u}{⟶}\mathrm{I}\mathrm{m}(f)⟶Y$

正好是$f$。

若$u$為同構，則稱$f$為正规態射；正规態射可以寫成滿射與單射的合成。所有態射皆為正规態射的範疇稱為正规範疇。

性質

• 以下三個條件等價：
  • $f$為嚴格滿射
  • $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{m}(f)\to Y$為同構
  • 序列$X{\times }_{Y}X\Rightarrow X\to Y$正合
• 如果$f$同時是嚴格滿射與嚴格單射，則$f$為同構。
• $X\to \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{m}(f)$恆為嚴格滿射。

例子

正规態射的重要特性在於它分解為滿射與單射，此分解在阿貝爾範疇中扮演關鍵角色。

對於集合範疇、群範疇以及一個環上的模範疇，嚴格性並不成問題。一旦引入額外結構，狀況將大大地複雜化：例如取$𝒞$為拓撲向量空間範疇，$𝒞$中存在所有有限的積與上積。$𝒞$中的態射$f:X\to Y$即連續線性映射，其像$\mathrm{I}\mathrm{m}(f)$是空間$f(X)$配與$Y$的子空間拓撲，上像$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{m}(f)$則是$f(X)$配與$f:X\to f(X)$的商拓撲；後者一般較前者為細。

文獻

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490

外部連結

• Categories, sites, sheaves and stacks /Pierre Schapira