模的支撑

在 交换代数 中， 一个交换环上的 模 $M$ 的支撑是一个集合，它包含所有 $A$ 上的理想 $𝔭$，使得$M_{𝔭}\ne 0$.  通常可以记为 $\mathrm{Supp}(M)$. 由定义，支撑是 $A$ 的谱的子集。

性质

• $M=0$ 当且仅当它的支撑是空集。

• 令 $0\to M^{\prime }\to M\to M^{″}\to 0$ 是一个 $A$ 模正合序列. 那么

  $\mathrm{Supp}(M)=\mathrm{Supp}(M^{\prime })\cup \mathrm{Supp}(M^{″}).$

注意这里的并集不一定是不相交的.

• 如果 $M$ 是子模 $M_{\lambda }$ 的和, 那么

$\mathrm{Supp}(M)=\bigcup _{\lambda }\mathrm{Supp}(M_{\lambda }).$

• 如果 $M$ 是一个有限生成 $A$ 模，那么 $\mathrm{Supp}(M)$ 是的所有的包含 $M$ 的消灭元所构成的素理想的集合. 特别的, 它在 $\mathrm{Spec}(A)$ 的 Zariski拓扑结构 中是闭的.

• 如果 $M,N$ 都是有限生成 $A$-模，那么

  $\mathrm{Supp}(M{\otimes }_{A}N)=\mathrm{Supp}(M)\cap \mathrm{Supp}(N).$

• 如果 $M$ 是一个有限生成模并且 $I$ 是 $A$ 的理想，那么 $\mathrm{Supp}(M/IM)$ 是包含 $I+\mathrm{Ann}(M).$ 素理想的集合. 这也就是

$V(I)\cap \mathrm{Supp}(M)$.

准凝聚层的支撑

如果 $F$ 是概形 X上的一个 准凝聚层, 层$F$的支撑是点集 x∈X 使得 stalk $F$_x 非零. 这个定义与空间 X上的 函数的支撑是一致的, 这就是我们使用"支撑"这个词的动机. 模上层的支撑的大部分性质都可以一字一句地推广到准凝聚层上来. 例如, 凝聚层 (更一般地, 一个有限型的层) 是空间 X的闭集.

如果 $M$ 是一个 $A$-模, 那么 $M$ 作为模的支撑等价于 $M$ 诱导的仿射概形 $\mathrm{Spec}(A)$ 上的准凝聚层 $\tilde{M}$ 的支撑. 另外, 如果 $\{U_{\alpha }=\mathrm{Spec}(A_{\alpha })\}$ 是概形 $X$ 的一个仿射覆盖, 那么 $F$ 作为层的支撑等价于每个 $A_{\alpha }$-模 $M_{\alpha }$ 作为模的支撑的并集.

由正合序列 $0\to {𝒪}_X(-D)\to {𝒪}_X\to {𝒪}_D\to 0$ 对于一个在光滑射影簇 $X$ 中的除子 D, 如果我们令开集 $U=X-D$ 则有 ${𝒪}_X(-D)(U)\cong {𝒪}_X(U)$, 这可以由线丛的定义得到, 并且注意到这里 $U\cap D=\varnothing$.

例子

由前面已知, 一个素理想 $𝔭$ 在模 $M$ 的支撑里, 当且仅当它包含 $M$ 的消灭元. 来看一个例子

$\frac{ℂ[x,y,z,w]}{(x^4+y^4+z^4+w^4)}\in \text{Mod}(ℂ[x,y,z,w])$

作为模的消灭元是理想 $(x^4+y^4+z^4+w^4)$. 这意味着 $\text{Supp}(M)\cong \mathrm{Spec}(ℂ[x,y,z,w]/(x^4+y^4+z^4+w^4))$ 也就是说它的支撑是多项式 $x^4+y^4+z^4+w^4$ 的零点.

现在来看短正合序列 $0\to I\to R\to R/I\to 0$ 我们可以认为理想 $(x^4+y^4+z^4+w^4)$ 的支撑等价于 $\text{Spec}(ℂ[x,y,z,w{]}_{(x^4+y^4+z^4+w^4)})$ 也就是多项式零点的补集.

在specializationTemplate:Fact意义下, 模的支撑总是闭的.

现在, 如果我们在一个整环里取两个多项式$f_1,f_2\in R$, 使得理想 $(f_1,f_2)$ 是完全交, 那么张量积的性质告诉我们 $\text{Supp}\left(\frac{R}{(f_1)}{\otimes }_R\frac{R}{(f_2)}\right)=\text{Supp}\left(\frac{R}{(f_1)}\right)\cap \text{Supp}\left(\frac{R}{(f_2)}\right)\cong \text{Spec}(R/(f_1,f_2))$

相关参考

• Associated prime
• Support (mathematics)