標準矩

Template:需要專家關注 Template:NoteTA 在機率論和統計學中，一個機率分布的標準矩是經過標準化後的中心矩（通常是較高階的中心矩）。標準化通常是將其除以標準差的過程，這樣做可以使得標準矩對縮放和離散程度皆能保持一致， 在比較不同機率分布的形狀時更為方便。

定義

設X為一隨機變量，其機率密度函數為f、平均值為 $\mu =\mathrm{E}[X]$ (一階原點矩)，則第k階標準矩為$\frac{{\mu }_k}{{\sigma }^k}$， 其中${\mu }_k$是第k階中心矩：

${\mu }_k=\mathrm{E}[(X-\mu {)}^k]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\mu {)}^{k}f(x)\mathrm{d}x$

${\sigma }^k$為標準差的k次方：

${\sigma }^k=(\sqrt{\mathrm{E}[(X-\mu {)}^2]}{)}^k$

以通式表示：

${\hat{\mu }}_k=\frac{{\mu }_k}{{\sigma }^k}=\frac{\mathrm{E}[(X-\mu {)}^k]}{(\mathrm{E}[(X-\mu {)}^2]{)}^{k/2}}$

性質

• 中心矩為k次齐次函数：${\mu }_k(\lambda X)={\lambda }^k{\mu }_k(X)$
• 標準矩具有縮放不變性。
• 由於上述標準矩的定義中將矩的因次消除了，因此標準矩為无因次量。

常用的標準矩

以下列出前4個標準矩：

階數 k	定義	說明
1	${\hat{\mu }}_1=\frac{{\mu }_1}{{\sigma }^1}=\frac{\mathrm{E}[(X-\mu {)}^1]}{(\mathrm{E}[(X-\mu {)}^2]{)}^{1/2}}=0$	一階標準矩恆為0， 因為一階中心矩恆為0。
2	${\hat{\mu }}_2=\frac{{\mu }_2}{{\sigma }^2}=\frac{\mathrm{E}[(X-\mu {)}^2]}{(\mathrm{E}[(X-\mu {)}^2]{)}^{2/2}}=1$	二階標準矩恆為1， 因為二階中心矩即為變異數${\sigma }^2$。
3	${\hat{\mu }}_3=\frac{{\mu }_3}{{\sigma }^3}=\frac{\mathrm{E}[(X-\mu {)}^3]}{(\mathrm{E}[(X-\mu {)}^2]{)}^{3/2}}$	三階標準矩用於定義偏度。
4	${\hat{\mu }}_4=\frac{{\mu }_4}{{\sigma }^4}=\frac{\mathrm{E}[(X-\mu {)}^4]}{(\mathrm{E}[(X-\mu {)}^2]{)}^{4/2}}$	四階標準矩用於定義峰度。

參見

• 中心矩
• 矩