中心矩

在概率论或者统计学中，主動差（Central Moment，或稱中央動差，其中-{zh-hans:矩;zh-tw:動差}-亦被稱作-{zh-tw:矩;zh-hans:动差}-）是关于某一个随机变量平均值构成随机变量的概率分布的動差。中心矩可以反应概率分布的特征，由于高阶中心矩仅与分布的分布和形状有关，而不与分布的位置有关，所以相比原点矩使用更广泛。

定義

对于一维随机变量$X$，其$k$阶中心矩${\mu }_k$为相對於$X$之期望值的$k$阶矩：

${\mu }_k=\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X]{)}^k]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\mu {)}^{k}f(x)dx$

前幾階中心矩具有較直觀的意義。

• 第0階中心矩${\mu }_0$恆為1。
• 第1階中心矩${\mu }_1$恆為0。
• 第2階中心矩${\mu }_2$為$X$的方差$\mathrm{Var}(X)$。
• 第3階中心矩${\mu }_3$用於定義$X$的偏度。
• 第4階中心矩${\mu }_4$用於定義$X$的峰度。

性質

• 中心矩具有平移不變性。對於任意的隨機變量$X$和任意常數$c$，恆有：

${\mu }_n(X+c)={\mu }_n(X)$

• n階中心矩是n次齊次函數。

${\mu }_n(cX)=c^n{\mu }_n(X)$

• 只有當$n\in \{1,2,3\}$，且$X$和$Y$為兩個互相獨立的隨機變量時，中心矩才具有加法性。

${\mu }_n(X+Y)={\mu }_n(X)+{\mu }_n(Y)$

另一個與中心矩類似，但在$n\ge 4$時仍保有加法性的統計量為n階累積量${\kappa }_n$。