概周期函数

Template:NoteTA 在数学中，概周期函数（或殆周期函数）是一类有近似于周期性质的函数，是连续週期函數的推廣。不同的周期函数由于周期不尽相同，其和、差或乘积不一定再是周期函数。概周期函数尽管未必有严格的周期性，但可拥有一些比周期函数更好的性质。这一概念首先于1925年被丹麦数学家哈那德·玻尔引進，后来赫曼·外尔、贝西科维奇等人也有研究和推广^[1]。Template:Le因概周期函数方面的贡献获得了1931年剑桥大学的Template:Le^[2]。

定义

概週期函數有若干個等價定義。根据哈那德·玻尔引进的分析學上的定义，一个定义域在实数域上的连续函数 $f$ 如果满足：对任意正实数 $ϵ$ ，都存在实数 $l (ϵ) > 0$ ，使得任意长度为 $l (ϵ)$ 的区间里至少存在一个数 $t$ ，使得对于任意的 $x \in ℝ$ ，都有：

| f (x + t) - f (x) | < ϵ

^[3]

在高维欧几里得空间 $ℝ^{n}$ 中，也可以定义类似的概周期向量函数。

按照定义，所有周期函数都是概周期函数。

值域在復平面上的概周期函数与三角多项式函数有密切关系。哈那德·玻尔首先注意到這類型的函數是在研究有限項狄利克雷級數的時候。當把黎曼ζ函数：ζ(s) 截出有限項后，得到的是一些形如

e^{(σ + i t) \log n}

的項。其中的 $σ + i t = s$ 。如果只考慮復平面上的一條豎直的直線（也就是說固定s 的實數部份 $σ$ ，而實數 $t$ 在正負無窮大之間變動），那麼實際上每一項變成：

t \mapsto n^{σ} e^{(\log n) i t}

如果只觀察有限個這樣的函數的和（以避免 $σ < 1$ 時的解析开拓的問題），那麼由於對不同的n， $e^{(\log n) i t}$ 是線性獨立的，這個和不再是一個週期函數。

在相關研究中，哈那德·玻尔開始注意形如：

t \mapsto \sum_{k = 1}^{m} e^{i λ_{k} t}

的三角多项式函數。它是若干個週期互不相同的週期函數 $e^{i λ_{k} t}$ 的和。於是概週期函數的另一個定義出現了：如果对每个 $ϵ > 0$ ，都存在三角多项式函数： $T_{ϵ} (x)$ ，使得对于任意的 $x \in ℝ$ ，都有：

| f (x) - T_{ϵ} (x) | < ϵ

可以證明，這個定義與第一個定義是等價的^[1]。

考虑若干三角多项式函数：

f_{n} : x ⟼ \sum_{k = 1}^{n} \exp (i λ_{k} x)

其中 $λ_{k}$ 是复数。每一个 $f_{n}$ 都是周期函数，因此有限个 $f_{n}$ 的和仍然是概周期函数。然而，对于某些和函数，比如说：

f : x ⟼ \exp (i x) + \exp (i π x)

$f$ 不是周期函数，但仍然是概周期函数。

如同周期函数一样，任何概周期函数都是有界的, 且一致连续。
如果 $f$ 是概周期函数，那么对于任意实数 $a$ ， $f (x + a)$ 、 $f (a x)$ 、 $a f (x)$ 、 $| f (x) |$ 也是概周期函数。
如果 $f$ 和 $g$ 都是概周期函数，那么 $f + g$ 、 $f - g$ 和 $f \cdot g$ 都是概周期函数。
如果 $f (x)$ 是概周期函数， $H$ 是 $f$ 的值域到 $ℝ$ 上的一致连续函数, 则 $H (f (x))$ 也是概周期函数。
如果概周期函数的序列 $(f_{n})_{n \in ℕ}$ 在实轴上一致收敛于函数 $f (x)$ ，则 $f (x)$ 也是概周期函数。
如果 $f (x)$ 是概周期函数, 则 $f^{'} (x)$ 为概周期函数的充分必要条件是 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 一致连续。
如果 $f (x)$ 是概周期函数， $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ ，则 $F (x)$ 为概周期函数的充要条件为 $F (x)$ 有界^[3]^[1]。

A.S. Besicovitch, "On generalized almost periodic functions" Proc. London Math. Soc. (2) , 25 (1926) pp. 495-512
Template:Citation
H. Bohr, "Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen I" Acta Math., 45 (1925) pp. 29–127
H. Bohr, "Almost-periodic functions" , Chelsea, reprint (1947)
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