柯西判据

在数学和拓扑学中，以法国数学家柯西命名的柯西判据是判断度量空间中数列收敛性的一个依据。

满足这个判据的数列称为柯西序列。

当空间是完备空间的时候，满足柯西判据等价于数列收敛。

定理的陈述

Template:Seealso 若度量空间中的一个数列满足柯西判据：

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n\underset{p,q>n}{\sup }d(s_p,s_q)=0$

那么这个数列就是一个柯西数列。

柯西判据的推论：

1.在度量空间中，收敛数列一定是柯西序列。

2.在完备的度量空间中，所有的柯西序列都是收敛的。

特殊度量空间

这个等价关系在$ℝ$（距离定义为绝对值时），$ℂ$中（距离定义为模），${ℝ}^n$和${ℂ}^n$中（对任意一个模）成立。在巴拿赫空间中，所有的子空间都是完备的度量空间，等价关系对任意一个模成立。 在$\mathbb{Q}$-赋范向量空间${\mathbb{Q}}^n$中，若距离定义为几何距离，则上面的推论中只有第一个成立，因为这不是完备空间。不过这时所有的柯西序列仍然收敛，只是序列极限属于${ℝ}^n$而不是${\mathbb{Q}}^n$。

证明

• 推论1：

如果数列$(s_n)$收敛于$s$,那么对所有 $ϵ>0$，存在一个整数$m$，使对所有 $n>m$都有:$d(s_n,s)<r,$

那么根据距离的三角不等性，可得:

$d(s_p,s_q)⩽d(s_p,s)+d(s_q,s)<2ϵ$

对所有的 $p,q>m$都成立，因此这是一个柯西序列。

• 推论2：

这是由完备空间的定义推出的。

参考条目

• 柯西序列
• 完备空间