李超代数

李超代数是李代数的推广，包含了Z₂Template:Nbh分次代数。李超代数在理论物理中十分重要，用于描述超对称的数学理论。其中，超代数的偶元素大多对应玻色子，奇元素大多对应费米子（也有相反者，如BRST超对称）。

定义

形式上看，李超代数是交换环（一般是R或C）上的非结合Z₂-分次代数，或“超代数”，其积为[·, ·]，称作李超括号或超交换子，满足两个条件（与分次的通常李代数类似）：

超反对称性（skew-symmetry）：

$[x,y]=-(-1{)}^{|x||y|}[y,x].$

超雅可比恒等式：

$(-1{)}^{|x||z|}[x,[y,z]]+(-1{)}^{|y||x|}[y,[z,x]]+(-1{)}^{|z||y|}[z,[x,y]]=0,$

其中x、y、z在Z₂分次中为纯。|x|表示x的度（0或1）。[x,y]的度是x、y度之和模2。

有时，还会在$|x|=0$时添加公理$[x,x]=0$（若2可逆，则公理自动成立）；对$|x|=1$时，有$[[x,x],x]=0$（若3可逆，则公理自动成立）。当基环是整数或李超代数是自由模时，这些条件等同于庞加莱–伯克霍夫–威特定理成立的条件（一般而言是定理成立的必要条件）。

正如对李代数一样，李超代数的泛包络代数可被赋予霍普夫代数结构。 反交换、在分次意义上雅可比的分次李代数（按Z或N分次）也有$Z_2$分次（称作将代数“卷”为奇偶部分），但不称作“超”。

性质

令$𝔤={𝔤}_0\oplus {𝔤}_1$为李超代数。通过观察雅可比恒等式，可发现有8种情况取决于参数的奇偶。以奇元素个数为索引，分成4类：

1. 无奇元素。即${𝔤}_0$为平凡李代数。
2. 1个奇元素。则${𝔤}_1$是作用${\mathrm{a}\mathrm{d}}_a:b\to [a,b],a\in {𝔤}_0,b,[a,b]\in {𝔤}_1$的${𝔤}_0$模。
3. 2个奇元素。雅可比恒等式说明括号${𝔤}_1\otimes {𝔤}_1\to {𝔤}_0$是对称${𝔤}_1$映射。
4. 3个奇元素。对所有$b\in {𝔤}_1$，都有$[b,[b,b]]=0$。

因此，李超代数的偶超代数${𝔤}_0$形成（正常）李代数，因为所有符号都消失了，超括号变为普通李括号；而${𝔤}_1$是${𝔤}_0$的线性表示，存在对称${𝔤}_0$等变线性映射$\{\cdot ,\cdot \}:{𝔤}_1\otimes {𝔤}_1\to {𝔤}_0$使得

$[\{x,y\},z]+[\{y,z\},x]+[\{z,x\},y]=0,x,y,z\in {𝔤}_1.$

条件(1)–(3)是现行的，都可以用普通李代数来理解。条件(4)是飞现行的，且是在从普通李代数（${𝔤}_0$）和表示（${𝔤}_1$）开始构造李超代数时最难验证的条件。

对合

^∗李超代数是配备自身到自身的对合反线性映射的复李超代数，映射反映Z₂分次且对李超代数中所有x、y都有$[x,y{]}^{*}=[y^{*},x^{*}]$（有人更喜好约定$[x,y{]}^{*}=(-1{)}^{|x||y|}[y^{*},x^{*}]$；将*改为−*可在两种约定之间切换）。其泛包络代数将是普通对合代数。

例子

给定结合超代数$A$，可通过以下方式定义齐次元素上的超交换子：

$[x,y]=xy-(-1{)}^{|x||y|}yx$

然后线性延伸到所有元素。代数$A$与超交换子共同构成李超代数。这个过程最简单的例子也许是当$A$为超向量空间$V$中所有线性函数$𝐄𝐧𝐝(V)$的空间。$V={𝕂}^{p|q}$时，该空间可表为$M^{p|q}$或$M(p|q)$。用上述李括号，空间可表为$𝔤𝔩(p|q)$。

同伦群上的怀特海德积给出了许多整数上的李超代数的例子。

超庞加莱代数生成了平面超空间的等距。

分类

维克托·卡茨对简单复有限维李超代数进行了分类：（不包括李代数） 特殊线性李超代数 $𝔰𝔩(m|n)$.

李超代数$𝔰𝔩(m|n)$是$𝔤𝔩(m|n)$的超代数，包含超迹为0的矩阵。$m=n$时是简单的；$m=n$时，单位矩阵$I_{2m}$产生一个理想。对理想取商，可得 $𝔰𝔩(m|m)/⟨I_{2m}⟩$，对$m\ge 2$是简单的。

正交辛李超代数 $𝔬𝔰𝔭(m|2n)$.

考虑${ℂ}^{m|2n}$上的偶、非退化、超对称双射形式$⟨\cdot ,\cdot ⟩$，则正交辛李超代数是$𝔤𝔩(m|2n)$的超代数，包含的矩阵满足下式不变：$$𝔬𝔰𝔭(m|2n)=\{X\in 𝔤𝔩(m|2n)\mid ⟨Xu,v⟩+(-1{)}^{|X||u|}⟨u,Xv⟩=0\text{ for all }u,v\in {ℂ}^{m|2n}\}.$$其偶部由$𝔰𝔬(m)\oplus 𝔰𝔭(2n)$给出。

例外李超代数 $D(2,1;\alpha )$.

有一族取决于参数$\alpha$的(9∣8)维李超代数，它们是$D(2,1)=𝔬𝔰𝔭(4|2)$的变形。若$\alpha =0$、$\alpha =-1$，则D(2,1,α)是简单的；若$\alpha$、$\beta$在映射$\alpha \mapsto {\alpha }^{-1}$、$\alpha \mapsto -1-\alpha$的作用下处于同一轨道，则$D(2,1;\alpha )\cong D(2,1;\beta )$。

例外李超代数 $F(4)$.

具有维度(24|16)。偶部由$𝔰𝔩(2)\oplus 𝔰𝔬(7)$给出。

例外李超代数 $G(3)$.

具有维度(17|14)。偶部由$𝔰𝔩(2)\oplus G_2$给出。

还有2个所谓“奇异”序列，分别叫做$𝔭𝔢(n)$、$𝔮(n)$.

Cartan类型。可分为4族：$W(n)$、$S(n)$、$\tilde{S}(2n)$、$H(n)$。对于简单李超代数的Cartan类型，奇部在偶部的作用下不再完全可还原。

无穷维简单线性紧李超代数的分类

分类包含10个系列W(m, n), S(m, n) ((m, n) ≠ (1, 1)), H(2m, n), K(2m + 1, n), HO(m, m) (m ≥ 2), SHO(m, m) (m ≥ 3), KO(m, m + 1), SKO(m, m + 1; β) (m ≥ 2), SHO ∼ (2m, 2m), SKO ∼ (2m + 1, 2m + 3)及5个例外代数：

E(1, 6), E(5, 10), E(4, 4), E(3, 6), E(3, 8)

最后两个特别有趣（据Kac所说），因为它们的零级代数是标准模型规范群SU(3)×SU(2)×U(1)。无穷维（仿射）李超代数是超弦理论中重要的对称，具体来说，具有$𝒩$超对称的Virasoro代数是$K(1,𝒩)$，其只有中心扩展到$𝒩=4$。

范畴论定义

范畴论中，李超代数可定义为非结合超代数，其积满足

• $[\cdot ,\cdot ]\circ (\mathrm{id}+{\tau }_{A,A})=0$
• $[\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes \mathrm{id}\circ (\mathrm{id}+\sigma +{\sigma }^2)=0$

其中σ是循环包络辫$(\mathrm{id}\otimes {\tau }_{A,A})\circ ({\tau }_{A,A}\otimes \mathrm{id})$。以图表示：

另见

• 格尔斯滕哈伯代数
• 任意子李代数
• 外代数
• 李超代数的表示
• 超空间
• 超群
• 泛包络代数

参考文献

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历史

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外部链接

• Irving Kaplansky + Lie Superalgebras