李善兰恒等式为组合数学中的一个恒等式，由中国清代数学家李善兰于1859年在《垛积比类》一书中首次提出，因此得名。
有幂级数[1]和概率[2]两种证明方法。
(n+kk)2=∑j=0k(kj)2(n+2k−j2k)
其中(kl)=k!l!(k−l)!
李善兰恒等式是薩爾許茨定理（Saalschütz's theorem）的一个整数特例。
3F2(a,b,−n;c,1+a+b−c−n;1)=(c−a)n(c−b)n(c)n(c−a−b)n.[3] [4]
∑j=0k(kj)2(n+2k−j2k)=(n+2k)!(2k)!n!∑j=0∞(−k)(j)(−k)(j)(−n)(j)(1)(j)(−n−2k)(j)j!=(n+2k)!(2k)!n!3F2(−k,−k,−n;1,−n−2k;1)
=(n+2k)!(1+k)n(1+k)n(2k)!n!(1)n(1+2k)n=(n+2k)!(n+k)!(n+k)!(2k)!(2k)!n!k!k!n!(n+2k)!=(n+kk)2
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