本迪克森-杜拉克定理

在数学裡，本迪克森-杜拉克定理说明了对于一个二维的驻定动力系统

$\frac{dx}{dt}=X(x,y),$

$\frac{dy}{dt}=Y(x,y)$

如果存在$\phi (x,y)$使得

$\frac{\partial (\phi X)}{\partial x}+\frac{\partial (\phi Y)}{\partial y}\ne 0$

在研究区域（必须是单连通的）上几乎处处成立，那么这个动力系统不存在周期解。所谓“几乎处处成立”是指不成立的点的集合是一个测度为零的集合。这个定理可以用格林定理证出。

证明

运用反证法，假设研究区域为单连通的区域 $D$，其内存在对于动力系统：

$\frac{dx}{dt}=X(x,y),$

$\frac{dy}{dt}=Y(x,y)$

的一组周期解$(x,y)$，其周期为$T$，那么对于

$\mathrm{\Gamma }:x=x(t)y=y(t)0\le t\le T$

所围成的区域$D_{\mathrm{\Gamma }}\subset D$，有

$\underset{D_{\mathrm{\Gamma }}}{\iint }(\frac{\partial (\phi X)}{\partial x}+\frac{\partial (\phi Y)}{\partial y})dxdy=\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\phi (Xdy-Ydx)$

$=\underset{0}{\overset{T}{\int }}\phi (X\frac{dy}{dt}-Y\frac{dx}{dt})dt=\underset{0}{\overset{T}{\int }}\phi (XY-YX)dt=0$

但是由于使得 $\frac{\partial (\phi X)}{\partial x}+\frac{\partial (\phi Y)}{\partial y}=0$ 的点 $(x,y)$ 的集合是一个测度为零的集合，所以总可以找到 $\phi$ 使得$\frac{\partial (\phi X)}{\partial x}+\frac{\partial (\phi Y)}{\partial y}$在零点之外不变号。这样$\underset{D_{\mathrm{\Gamma }}}{\iint }(\frac{\partial (\phi X)}{\partial x}+\frac{\partial (\phi Y)}{\partial y})dxdy$不可能为0，矛盾！

因此周期解不存在，定理得证。

参见

• 极限环
• 庞加莱回归

参考资料

• 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松，《常微分方程》（第三版），297页，高等教育出版社。
• MICHAL FECKAN,A GENERALIZATION OF BENDIXSON'S CRITERION，Proceedings of The

American Mathematical Society, Volume 129, Number 11, Pages 3395-3399,S 0002-9939(01)06107-X, Article electronically published on April 25, 2001[1]