朗道量子化

Template:NoteTA 朗道量子化是指均匀磁场中带电粒子的回旋轨道发生的量子化。这些带电粒子能量在一系列分立的数值中取值，形成朗道能级。朗道能级是简并的，每一能级上电子的电子数量与外加磁场的强度成正比Template:Rp。由朗道量子化可以得出外磁场会导致材料中电子性质的振荡。这一理论是由苏联物理学家列夫·朗道于1930年提出的。

推导

朗道量子化可以通过准经典的方法部分导出Template:Rp。这里采用量子力学的方法进行推导：

考虑一个带电粒子组成的二维-{系统}-。这些粒子无内部相互作用，所带电荷为Template:Mvar，自旋量子数为Template:Mvar，并被限制在Template:Math平面内一个面积Template:Math的区域内。

对这一系统施加一个沿Template:Mvar轴的均匀磁场$𝐁=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ B\end{array}\right)$。由于自旋对于这个二维系统没有影响，因而在下面的推导中将忽略自旋。在CGS单位制下，这个系统的哈密顿算符为：

$\hat{H}=\frac{1}{2m}(\widehat{𝐩}-q\widehat{𝐀}/c{)}^2.$

式中$𝐩$为正则动量算符，$\widehat{𝐀}$为磁场的磁矢势，与磁感应强度的关系为：

$𝐁=\mathrm{\nabla }\times \widehat{𝐀}.$

给定磁场的磁矢势具有一定的规范自由度。当$\widehat{𝐀}$被添加一个标量场的梯度时，波函数的整体相位也会随着标量场产生一定的变化，但由于哈密顿算符具有规范不变性，系统的物理性质并不受选定的规范影响。为了简便计算，这里选择Template:Le：

$\widehat{𝐀}=\left(\begin{array}{c}0\\ Bx\\ 0\end{array}\right).$

式中Template:Mvar=|B|，x为位置算符Template:Mvar方向上的分量。

在这一规范下，系统的哈密顿算符为：

$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}_x^2}{2m}+\frac{1}{2m}{({\hat{p}}_y-\frac{qB\hat{x}}{c})}^2.$

算符${\hat{p}}_y$与这一哈密顿算符是对易的。这是因为在选定规范时，算符$\hat{y}$被忽略掉了，因而算符${\hat{p}}_y$可被它的本征值Template:Math替代。

如果设定回旋频率Template:Math，那么可以得出此时哈密顿算符为：

$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}_x^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }_c^2{(\hat{x}-\frac{\hslash k_y}{m{\omega }_c})}^2.$

这与量子谐振子的哈密顿算符基本一致，但势能的最小值需要在位置表象中移动Template:Math。

注意到谐振子势能的平移并不会影响到系统的能量，也就是说这一系统的能量与标准的量子谐振子一致：

$E_n=\hslash {\omega }_c(n+\frac{1}{2}),n\ge 0.$

由于能量与量子数Template:Math无关，因而会存在一定的简并态。

由于${\hat{p}}_y$与哈密顿算符是对易的，因而系统的波函数可以表示为Template:Mvar方向上动量的本征值与谐振子本征矢$|{\varphi }_n⟩$的乘积，但$|{\varphi }_n⟩$也需要在Template:Mvar方向上移动Template:Mvar₀，即：

$\mathrm{\Psi }(x,y)=e^{i{k}_{y}y}{\varphi }_n(x-x_0).$

总之，电子的状态可以通过Template:Mvar与Template:Math这两个量子数表征。

朗道能级

朗道量子化所造成的效应只能在平均内能小于能级间差值，即Template:Math时才能被观测到。简单来说就是温度较低，外磁场较强。

每个朗道能级都具有一定的简并度，因为量子数Template:Math的取值情况为：

$k_y=\frac{2\pi N}{L_y}$,

式中Template:Mvar为整数。Template:Mvar所允许的取值受到振子的运动中心坐标Template:Math的影响。振子的运动必须在系统范围内，也就是说Template:Math。这给出了Template:Mvar的取值范围：

$0\le N<\frac{m{\omega }_c{L}_x{L}_y}{2\pi \hslash }.$

对于带电量Template:Math的粒子来说，Template:Mvar的上限可以表记为磁通量的比值：

$\frac{ZB{L}_x{L}_y}{(hc/e)}=Z\frac{\mathrm{\Phi }}{{\mathrm{\Phi }}_0},$

式中Template:Math为磁通量的基本量子，Template:Math是系统的磁通量，面积Template:Math。

因而对于自旋为Template:Mvar的粒子，每个朗道能级的简并度的最大值Template:Mvar为：

$D=Z(2S+1)\frac{\mathrm{\Phi }}{{\mathrm{\Phi }}_0}.$

上述讨论只是在有限尺度内给出的粗略的结果，严格来说，谐振子解只对在Template:Mvar方向上不受限的系统有效，如果系统尺度Template:Math是有限的，那个方向上的束缚态条件会导致磁场中的非标准量子化情况。原则上，两个都是埃尔米特方程的解。多电子对于朗道能级的填充仍是研究热点之一。

一般来说，朗道能级可以在电子系统中被观察到，其中Template:Mvar=1，Template:Mvar=1/2。随着磁场增强，越来越多的电子会占据朗道能级。最高的朗道能级的占据情况会导致多种电子性质振荡，如德哈斯-范阿尔芬效应及舒布尼科夫-德哈斯效应。

如果考虑到塞曼效应的话，那么每个朗道能级都会分裂为一对能级：一个为自旋向上的电子占据的能级，一个是自旋向下的电子占据的能级。此时每个自旋朗道能级的简并度就会是磁通量的比率：Template:Mvar = Template:Math。两个能级与分裂前的能级间隔是相同的：Template:Math。然而在多个能级被占满时，系统的费米能与基态的能量却是大致相同的，因为塞曼效应造成的影响，在这些能级相加时会被抵消掉。

讨论

在上面的推导过程中，Template:Mvar与Template:Mvar似乎并不对称。然而，考虑到系统的对称性，并没有物理量能表征这两个坐标的区别。在对Template:Mvar与Template:Mvar进行适当的内部变换后，可以得到相同的结果。

此外，上述推导中电子在Template:Mvar方向上运动受限的情形尽管在实验中确实存在，如二维电子气。但这一假设并不基本。如果电子在Template:Mvar方向上可以自由移动，那么波函数还需要乘以一个因子exp(Template:Math)，能量对应地需要加上Template:Math。这一项会“填入”能级间隙，从而减小量子化的效果。但在垂直于磁场的平面Template:Mvar-Template:Mvar上的运动仍是量子化的。

对称规范中的朗道能级

选定对称规范：

$\widehat{𝐀}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}-By\\ Bx\\ 0\end{array}\right)$

对于哈密顿算符进行去量纲化：

$\hat{H}=\frac{1}{2}[{(-i\frac{\partial }{\partial x}-\frac{y}{2})}^2+{(-i\frac{\partial }{\partial y}+\frac{x}{2})}^2]$

实际值可以通过引入$q$、$c$、$\hslash$、$𝐁$及$m$等常数得出。

引入算符

$\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}[(\frac{x}{2}+\frac{\partial }{\partial x})-i(\frac{y}{2}+\frac{\partial }{\partial y})]$

${\hat{a}}^{†}=\frac{1}{\sqrt{2}}[(\frac{x}{2}-\frac{\partial }{\partial x})+i(\frac{y}{2}-\frac{\partial }{\partial y})]$

$\hat{b}=\frac{1}{\sqrt{2}}[(\frac{x}{2}+\frac{\partial }{\partial x})+i(\frac{y}{2}+\frac{\partial }{\partial y})]$

${\hat{b}}^{†}=\frac{1}{\sqrt{2}}[(\frac{x}{2}-\frac{\partial }{\partial x})-i(\frac{y}{2}-\frac{\partial }{\partial y})]$

这些算符的对易关系为：

$[\hat{a},{\hat{a}}^{†}]=[\hat{b},{\hat{b}}^{†}]=1$.

哈密顿算符可记为：

$\hat{H}={\hat{a}}^{†}\hat{a}+\frac{1}{2}$

朗道能级序数$n$是${\hat{a}}^{†}\hat{a}$的本征值。

角动量Template:Mvar方向上的分量为：

${\hat{L}}_z=-i\hslash \frac{\partial }{\partial \theta }=-\hslash ({\hat{b}}^{†}\hat{b}-{\hat{a}}^{†}\hat{a})$

利用其与哈密顿算符可对易，即$[\hat{H},{\hat{L}}_z]=0$，我们选定${\hat{L}}_z$的本征值$-m\hslash$为使$\hat{H}$与 ${\hat{L}}_z$对角化的本征函数。易见，在第$n$个朗道能级上存在$m\ge -n$。然而$m$的值可能非常大。在下面将推导系统表现出的有限简并度。

使用${\hat{b}}^{†}$可以使$m$减小一个单位同时使$n$保持不变，而${\hat{a}}^{†}$则可以使$n$增大一个单位，同时令$m$减小一个单位。类比量子谐振子，可以得到：

$\hat{H}|n,m⟩=E_n|n,m⟩$

$E_n=(n+\frac{1}{2})$

$|n,m⟩=\frac{({\hat{b}}^{†}{)}^{m+n}}{\sqrt{(m+n)!}}\frac{({\hat{a}}^{†}{)}^n}{\sqrt{n!}}|0,0⟩$

在朗道规范与对称规范下，每个朗道能级上的简并轨道分别以量子数Template:Math及$m$表征，每个朗道能级上单位面积的简并度是相同的。

可以证明选定下面这个波函数时，也可以得到上面得到的结果：

${\psi }_{n,m}(x,y)={(\frac{\partial }{\partial w}-\frac{\overline{w}}{4})}^n{w}^{n+m}{e}^{-|w{|}^2/4}$

式中$w=x+iy$。

特别地，对于最低的朗道能级，即$n=0$时，波函数为任意一个解析函数与高斯函数的乘积：$\psi (x,y)=f(w)e^{-|w{|}^2/4}$。

规范变换的影响

进行这样的规范变换：

$\overrightarrow{A}\to {\overrightarrow{A}}^{\prime }=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\lambda (\overrightarrow{x})$

运动学动量的定义为：

$\hat{\pi }=\widehat{𝐩}-q\widehat{𝐀}/c$

式中$\widehat{𝐩}$为正则动量。哈密顿算符是规范不变的，因而$⟨\hat{\pi }⟩$与$⟨\hat{x}⟩$也会在规范变换后保持不变，但$⟨\widehat{𝐩}⟩$会受到规范变换的影响。

为了考察规范变换带来的影响，设磁矢势为$A$与$A^{\prime }$时的量子态为$|\alpha ⟩$与$|{\alpha }^{\prime }⟩$。

由于$⟨\hat{x}⟩$和$⟨\hat{\pi }⟩$是规范不变的，可以得到：

$⟨\alpha |\hat{x}|\alpha ⟩=⟨{\alpha }^{\prime }|\hat{x}|{\alpha }^{\prime }⟩$

$⟨\alpha |\hat{\pi }|\alpha ⟩=⟨{\alpha }^{\prime }|\widehat{{\pi }^{\prime }}|{\alpha }^{\prime }⟩$

$⟨\alpha |\alpha ⟩=⟨{\alpha }^{\prime }|{\alpha }^{\prime }⟩$

设算符$𝒢$会使$|{\alpha }^{\prime }⟩=𝒢|\alpha ⟩$，则：

${𝒢}^{†}\hat{x}𝒢=\hat{x}$

${𝒢}^{†}(\hat{p}-\frac{e\hat{A}}{c}-\frac{e\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\lambda (x)}{c})𝒢=\hat{p}-\frac{e\hat{A}}{c}$

${𝒢}^{†}𝒢=1$

综上所述：

$𝒢=\exp \left(\frac{ie\lambda (\overrightarrow{x})}{\hslash c}\right)$

参见

• 巴克豪森效应
• 量子霍尔效应
• Template:Le