朗德g因子

Template:DISPLAYTITLE Template:NoteTA 在物理学和化学中，朗德$g$因子是阿尔弗雷德·朗德试图解释反常塞曼效应时，于1921年提出的一个无量纲物理量，反映了塞曼效应中磁矩与角动量之间的联系。其定义后来被推广到其它领域，在粒子物理学中常常被简称为$g$因子。

塞曼效应

塞曼效应中的朗德$g$因子由下式给出

$g_J=1+\frac{J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)}$

式中$L,S,J$分别是原子能态（光谱支项）的角量子数、自旋量子数和内量子数。

导引

朗德假定，当两个角动量$𝐋\hslash$与$𝐒\hslash$耦合时，它们的相互作用能由下式给出：

$E_{\text{interaction}}=\mathrm{\Gamma }(𝐋\cdot 𝐒),\mathrm{\Gamma }\text{ constant}$

令

$𝐉\hslash =𝐋\hslash +𝐒\hslash$

为耦合后的总角动量，则可以证明，在上述形式的相互作用能下，$𝐋\hslash$与$𝐒\hslash$将绕向量$𝐉\hslash$进动。

在外加磁场的作用下，带电粒子的角动量会绕外加磁场的方向进动。在这种情况下，是$𝐉\hslash$进行进动。朗德采用了一种简化处理的方法，即认为外磁场中的原子的能量仅仅与向量$𝐋\hslash$与$𝐒\hslash$的长时间平均值有关，而后者恰好就是它们在$𝐉\hslash$方向上的投影，即

$(𝐋{)}_{\text{av}}=\frac{𝐉(𝐋\cdot 𝐉)}{J^2},(𝐒{)}_{\text{av}}=\frac{𝐉(𝐒\cdot 𝐉)}{J^2}$

随后，朗德进一步假定，角动量$𝐋\hslash$贡献的Template:Link-en由经典的公式给出，并假定$𝐉\hslash$是量子化的，其沿着磁场方向的分量由磁量子数$M$确定，即

$E_{\text{magnetic},L}=-\mathit{\mu }\cdot 𝐁=(\frac{e}{2m}(𝐋{)}_{\text{av}}\hslash )\cdot 𝐁=(𝐋{)}_{\text{av}}\cdot 𝐁{\mu }_B=\frac{M(𝐋\cdot 𝐉)}{J^2}{\mu }_{B}B$

式中$\mathit{\mu }$是磁矩，而${\mu }_B$為波耳磁子。类似地，朗德写出了角动量$𝐒\hslash$带来的能量贡献，但他发现为了与实验结果相一致，需要加上额外的因子2。当时朗德并不清楚为什么，现在我们知道这就是电子的自旋$g$因子。即：

$E_{\text{magnetic},S}=\frac{M(𝐒\cdot 𝐉)}{J^2}2{\mu }_{B}B$

将上面结果加起来，朗德得到下列的表达式，并引入符号$g$，这就是朗德$g$因子的最早来源：

$E_{\text{magnetic}}=\frac{M[(𝐋+2𝐒)\cdot 𝐉]}{J^2}{\mu }_{B}B=gM{\mu }_{B}B$

利用关系式$𝐋$+$2𝐒$=$𝐉$+$𝐒$，朗德得到：

$g=\frac{(𝐋+2𝐒)\cdot 𝐉}{J^2}=1+\frac{𝐒\cdot 𝐉}{J^2}=1+\frac{J^2-L^2+S^2}{2J^2}$

但是，朗德发现，为了与实验结果相符，这一表达式需要修改为下式，当时朗德并不清楚原因。现在来看，只要将上面的角动量矢量都作为算符来处理，然后将对应的角动量平方算符用其本征值取代，得出这个结果是很自然的。

$g=1+\frac{J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)}$

推广

从上面的导引可见，定义朗德$g$因子的式子是

$E_{\text{magnetic}}=gM{\mu }_{B}B$

上式可以等价地表述为Template:NoteTag：

${\mathit{\mu }}_J=g\frac{e}{2m}𝐉$

很自然的推广是将两边的$J$同时换成$L,S$等，并对不同的粒子将$m$换成对应粒子的质量。这就是现在广泛使用的朗德$g$因子。

粒子物理学

粒子物理学中的$g$因子是自旋$g$因子，根据自旋角动量和自旋磁矩按照上面的形式定义。

电子

上面的导引已经给出了电子自旋$g$因子的定义。在实际使用中，它的符号有两种取法，用不同的符号表记：

$g_{\mathrm{e}}\approx -2.002319,g_S=|g_{\mathrm{e}}|=-g_{\mathrm{e}}$

歷史沿革

歷史上，它的理論值有過變動：

• 在非相對論量子力學理論下考慮自旋-軌道作用時，等效地說，$g_s$為1。
  • 若再額外考慮狹義相對論時間展長效應下的湯瑪斯進動修正（1927年），$g_s$變為2，方合乎當代實驗觀測值。
• 在相對論量子力學，也就是指保羅·狄拉克所提出的理論（1928年），$g_s$恰恰為2；並不如前者採外加修正的方法，是具有一致性的理論可導出的自然結果。
• 在量子電動力學（QED）中，因為電子與真空能量的電磁漲落交互作用，可表為單環費因曼圖，提出QED的朱利安·施温格等人（1947年）所得的$g_s$理論值为$(2+\frac{\alpha }{2\pi }+O({\alpha }^2))\approx 2.002319304402$；α目前被視為是自然常數之一，其值約為$\frac{1}{137.03599911(46)}$。

威利斯·蘭姆等人實驗觀測到的蘭姆位移效應，所得$g_s$觀測值为$2.0023193043768(86)$，與理論相符精準度達小數點下第9位，展現出量子電動力學等現代物理理論所能達到的驚人精準預測程度。

其它粒子

一些粒子的朗德$g$因子列表如下：

NIST 提供的朗德$g$因子的值

粒子	朗德$g$因子	[[不确定性|Template:Math]]
电子	-2.002 319 304 361 53	0.000 000 000 000 53
中子	-3.826 085 45	0.000 000 90
质子	5.585 694 713	0.000 000 046
μ子	-2.002 331 8418	0.000 000 0013

参见

• 波耳磁子
• 湯瑪斯進動
• 量子電動力學
• 電子自旋共振