施泰纳-莱穆斯定理

$\alpha =\beta ,\gamma =\delta ,AE=BD$$\Rightarrow$$\mathrm{△}ABC$是等腰三角形

施泰纳-莱穆斯定理（Steiner–Lehmus theorem）是平面几何的一个定理：两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形。该命题看似显而易见，但直到19世纪上半叶才得到明确的几何证明，随后成为平面几何领域最受欢迎的证明题之一。该定理以德国数学家Template:Tsl和瑞士数学家Template:Tsl命名，两人在通信中最早提出和解决了该问题。

施泰纳-莱穆斯定理的结论并不能推广到外角平分线上。也就是说，两条外角平分线相等的三角形不一定是等腰三角形。

历史

在平面几何中，“等腰三角形的两条内角平分线相等”，是一个非常容易得到的结论。该命题的逆命题，“两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形”，则没有看上去那么容易证明。1840年，德国数学家Template:Tsl写信给瑞士数学家、几何学权威Template:Tsl，询问是否能给出一个纯几何的证明。施泰纳解决了问题，不过直到1844年才公开发表。第一个公开证明来自法国路易大帝中学的学生鲁热万（Rougevin），发表在1842年的《Template:Link-fr》上。1850年，莱穆斯也给出了自己的证明。

19世纪40年代起的一百多年里，关于施泰纳-莱穆斯定理的几何证明大量涌现，有上百个之多。绝大多数证明都依赖于反证法，即先假定两内角平分线相等的三角形不等腰，其中一个内角大于另一个，然后推出矛盾的结论。于是，关注点变成了，施泰纳-莱穆斯定理是否有“直接”的几何证明法，以及怎样的证明才算得上是“直接”。不过也有人认为，拒绝反证法的“纯粹主义”并没有什么意义。

证明

反证法

反证法

在 $\mathrm{△}ABC$ 中，两条内角平分线 $CE=BD$ 。

假设 $\mathrm{\angle }ABC\ne \mathrm{\angle }ACB$ ，令 $\mathrm{\angle }ABC=2\alpha <\mathrm{\angle }ACB=2\beta$ 。

在线段 $AB$ 上取点 $G$，使 $\mathrm{\angle }ECG=\alpha$， $CG$ 交 $BD$ 于点 $F$ 。

$\mathrm{△}CEG\sim \mathrm{△}BFG$$\Rightarrow$$\frac{CG}{BG}=\frac{CE}{BF}=\frac{BD}{BF}>1$$\Rightarrow$$CG>BG$$\Rightarrow$$\mathrm{\angle }CBG>\mathrm{\angle }BCG$$\Rightarrow$$\alpha >\beta$

结论与假设矛盾，故假设不成立。故 $\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }ACB$ 。

直接证明

直接证明法

在 $\mathrm{△}ABC$ 中，两条内角平分线 $BE=CD$ 。记 $\mathrm{\angle }CBE=\mathrm{\angle }ABE=\alpha$ ，$\mathrm{\angle }BCD=\mathrm{\angle }ACD=\beta$ 。

做直线 $EF$ ，使 $\mathrm{\angle }BEF=\beta$。做直线 $BF$ ，使 $\mathrm{\angle }EBF=\mathrm{\angle }CDB=180^{\circ }-2\alpha -\beta$ 。

$\mathrm{△}BEF\cong \mathrm{△}DCB$$\Rightarrow$$\{\begin{array}{c}BF=DB\\ EF=CB\end{array}$

$\{\begin{array}{c}EF=CB\\ CF=CF\\ \mathrm{\angle }CBF=\mathrm{\angle }FEC=180^{\circ }-\alpha -\beta >90^{\circ }\end{array}$$\Rightarrow$$\mathrm{△}CBF\cong \mathrm{△}FEC$$\Rightarrow$$BF=EC$

$EC=BF=DB$$\Rightarrow$$\mathrm{△}DBC\cong \mathrm{△}ECB$$\Rightarrow$$\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }ACB$

该证明方法由F. G. Hesse于1874年发表。不过，该证明方法所用到的一些构造和定理，如“三角形内角和为180度”，本身需要用反证法去证明，因此一些纯粹主义者认为这一证明还是不够直接。

代数证明

利用角平分線長公式，可以简洁地证明施泰纳-莱穆斯定理。

$t_a=t_b\Rightarrow \sqrt{bc(1-\frac{a^2}{(b+c{)}^2})}=\sqrt{ac(1-\frac{b^2}{(a+c{)}^2})}$

化简后得到： $c(a+b+c)(a-b)[(a+b)(c^2+ab)+3abc+c^3]=0$

连乘的其他各项都为正数，从而推出： $a-b=0$

外角平分线问题

两条外角平分线相等的不等腰三角形。易证 $AD=AB=BE$

施泰纳-莱穆斯定理的结论并不能推广到外角平分线上。也就是说，两条外角平分线相等的三角形不一定是等腰三角形。一个常举的反例是三个内角分别为132度、36度和12度的三角形，因为这个三角形的两条外角平分线恰等于一条边，易于证明。

进一步地，数学家们尝试证明，所有两条外角平分线相等的不等腰三角形的共性。中国数学家蒋声指出，满足下列条件的三角形都是有两条外角平分线相等的不等腰三角形：

$\{\begin{array}{c}A=\theta -\arccos (1+\cos \theta +\cos 2\theta )\\ B=\theta +\arccos (1+\cos \theta +\cos 2\theta )\\ C=180^{\circ }-2\theta \\ 60^{\circ }<\theta <90^{\circ }\end{array}$

“两条外角平分线相等的三角形是等腰三角形”是假命题，不过较弱的命题是成立的：三角形的两个角的外角平分线相等，若第三个角是最大或最小的角，则该三角形是等腰三角形；不然，则不是等腰三角形。