斯蒂尔吉斯常数

斯蒂尔吉斯常数，记为 $γ_{k}$ ，是出现在黎曼ζ函数的罗朗级数展开式中的数：

ζ (s) = \frac{1}{s - 1} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n!} γ_{n} (s - 1)^{n}

斯蒂尔吉斯常数由以下的极限给出：

γ_{n} = \lim_{m \to \infty} ((\sum_{k = 1}^{m} \frac{(\ln k)^{n}}{k}) - \frac{(\ln m)^{n + 1}}{n + 1})

还有一种积分表示法，可由柯西积分公式推出：

γ_{n} = \frac{(- 1)^{n} n!}{2 π} \int_{0}^{2 π} e^{- n i x} ζ (e^{i x} + 1) d x .

第零个常数 $γ_{0} = γ = 0.577 . . .$ 称为欧拉-马歇罗尼常数。

最初的几个值为：

更一般地，我们可以定义出现在赫尔维茨ζ函数的罗朗级数展开式中的斯蒂尔吉斯常数 $γ_{k} (q)$ ：

ζ (s, q) = \frac{1}{s - 1} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n!} γ_{n} (q) (s - 1)^{n}

在这里，q是一个复数，Re(q)>0。由于赫尔维茨ζ函数是黎曼ζ函数的一个推广，我们有

γ_{n} (1) = γ_{n}

参见