斯科惹函数

Scorers Gi function

Scorers Hi Function

斯科惹函数(Scorers functions)是下列方程的两个解

$y^{″}(x)-xy(x)=\frac{1}{\pi }$

$\mathrm{G}\mathrm{i}(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin (\frac{t^3}{3}+xt)dt,$

$\mathrm{H}\mathrm{i}(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-\frac{t^3}{3}+xt)dt.$

也可以通过艾里函数定义：

$\begin{array}{cc}\mathrm{G}\mathrm{i}(x)& =\mathrm{B}\mathrm{i}(x)\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{A}\mathrm{i}(t)dt+\mathrm{A}\mathrm{i}(x)\underset{0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{B}\mathrm{i}(t)dt,\\ \mathrm{H}\mathrm{i}(x)& =\mathrm{B}\mathrm{i}(x)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\mathrm{A}\mathrm{i}(t)dt-\mathrm{A}\mathrm{i}(x)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\mathrm{B}\mathrm{i}(t)dt.\end{array}$

幂级数展开

$Gi(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}cos(\frac{(2k-1)*\pi }{3})\mathrm{\Gamma }(\frac{k+1}{3})*\frac{(3^{1/3}*z{)}^k}{k!}$

$Hi(z)=\frac{3^{-2/3}}{\pi }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Gamma }(\frac{(2k+1)*\pi }{3})\frac{(3^{1/3}*z{)}^k}{k!}$

参考文献

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