斯图尔特定理

斯图尔特定理

斯图尔特定理（Template:Lang-en），Template:Fact，又稱為阿波羅尼奧斯定理。它說明： 在三角形$ABC$的邊$BC$上任意取一點$P$，則：

$\overline{PC}\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AB}}+\overline{PB}\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AC}}=(\overline{PB}+\overline{PC})(\stackrel{2}{\stackrel{‾}{PA}}+\overline{PB}\overline{PC})$。

該定理由蘇格蘭數學家Template:Tsl在1746年發表。這個定理以他的名字命名，來紀念他的貢獻。

证明

设a与p的交点为P。 对互补角APB和APC应用余弦定理，可得：

$b^2=p^2+y^2-2py\cos \theta$

$c^2=p^2+x^2+2px\cos \theta .$

把第一个等式乘以x，把第二个等式乘以y ：

$x{b}^2=x{p}^2+x{y}^2-2pxy\cos \theta$

$y{c}^2=y{p}^2+y{x}^2+2pxy\cos \theta .$

两式相加，得：

$x{b}^2+y{c}^2=(x+y)p^2+xy(x+y),$

证毕。

历史

据 Hutton & Gregory (1843，p.220) 所述，Stewart 于 1746 年发表这一结果，当时他正竞选爱丁堡大学数学教授之职。Coxeter & Greitzer (1967，p.6) 指出，这一定理可能在公元前300年左右就已经为阿基米德所知。他们接着说（错误地），第一个已知的证明是由 R. Simson 于 1751 年提供。Hutton & Gregory (1843 年) 指出，这一定理在 1748 年被 Simson 使用，1752 年被 Simpson 使用，并且它在欧洲的首次出现是由 Lazare Carnot 于1803 年给出。