提升指數引理

在初等數論中，指数提升引理（Template:Lang-en，又稱LTE引理或升冪引理）給出一些形如 $x^n\pm y^n$ 的整數所含的質因數 $p$ 的次數，即其p進賦值${\nu }_p(x^n\pm y^n)$。

背景

提升指數引理的起源並不明確。該引理目前的形式和名稱也只是在過去10至20年内引起人們的關注。但高斯已經知道這個引理的證明中的幾個關鍵思想，并在他的《算术研究》中引用。儘管該引理主要應用在数学奥林匹克竞赛中，它有時也用於數學研究，例如橢圓曲線。

定理內容

对于任意整数 $x$, $y$，正整数 $n$，和素数 $p$ 使得 $p\nmid x$，$p\nmid y$，有下述的公式：

• $p$ 為奇數時：
  • 如果 $p\mid x-y$ ，那麼${\nu }_p(x^n-y^n)={\nu }_p(x-y)+{\nu }_p(n)$ 。
  • 如果 $n$ 是奇數并且 $p\mid x+y$ ，那麼 ${\nu }_p(x^n+y^n)={\nu }_p(x+y)+{\nu }_p(n)$ 。
• $p=2$ 時 :
  • 如果 $2\mid x-y$ 且 $n$ 為偶數，那麼 ${\nu }_2(x^n-y^n)={\nu }_2(x-y)+{\nu }_2(x+y)+{\nu }_2(n)-1$ 。
  • 如果 $2\mid x-y$ 且 $n$ 為奇數，那麼 ${\nu }_2(x^n-y^n)={\nu }_2(x-y)$ 。（可以從下的一般情況得出）
  • 推論：
    • 如果 $4\mid x-y$ ，那 ${\nu }_2(x+y)=1$ 因此有 ${\nu }_2(x^n-y^n)={\nu }_2(x-y)+{\nu }_2(n)$ 。
• 對任意質數 $p$ ：
  • 如果 $\gcd (n,p)=1$ 且 $p\mid x-y$ ，那麼 ${\nu }_p(x^n-y^n)={\nu }_p(x-y)$ 。
  • 如果 $\gcd (n,p)=1$ , $p\mid x+y$ 且 $n$ 為奇數，那麼 ${\nu }_p(x^n+y^n)={\nu }_p(x+y)$ 。