控制变量法

控制变量法（Template:Lang-en）是在蒙特卡洛方法中用于减少方差的一种技术方法。该方法通过对已知量的了解来减少对未知量估计的误差。

原理

假设要估计的参数为$\mu$。同时对于统计$m$，其期望值为$\mu$：$𝔼\left[m\right]=\mu$，即$m$是$\mu$的无偏差估计。此时，对于另一个统计$t$，已知$𝔼\left[t\right]=\tau$。于是，

$m^{\star }=m+c(t-\tau )$

也是$\mu$的无偏差估计，$c$为任一给定系数。$m^{\star }$的方差为

$\text{Var}\left(m^{\star }\right)=\text{Var}\left(m\right)+c^2\text{Var}\left(t\right)+2c\text{Cov}(m,t);$

可以证明，使得方差最小的系数$c$为

$c^{\star }=-\frac{\text{Cov}(m,t)}{\text{Var}\left(t\right)};$

此时，对应的方差则为

$\begin{array}{cc}\text{Var}\left(m^{\star }\right)& =\text{Var}\left(m\right)-\frac{{\left[\text{Cov}(m,t)\right]}^2}{\text{Var}\left(t\right)}\\ & =(1-{\rho }_{m,t}^2)\text{Var}\left(m\right);\end{array}$

其中

${\rho }_{m,t}=\text{Corr}(m,t)$

为$m$与$t$之间的相关系数。$|{\rho }_{m,t}|$越大时，方差越小。

当$\text{Cov}(m,t)$、$\text{Var}\left(t\right)$或${\rho }_{m,t}$未知时，可以通过蒙特卡洛模拟进行估计。由于该方法相当于一个最小二乘法系统，又被称为回归抽样（Template:Lang）。

示例

假设我们要使用蒙特卡洛方法估计

$I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+x}\mathrm{d}x,$

即估计

$f(U)=\frac{1}{1+U}$

的期望值。其中，$U$满足均匀分布。假设有n个样本$u_1,\cdots ,u_n$，该估计可表示为

$I\approx \frac{1}{n}\sum _{i}f(u_i);$

此时，我们引入控制变量$g(U)=1+U$，其已知期望值为$𝔼\left[g\left(U\right)\right]=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1+x)\mathrm{d}x=\frac{3}{2}$。由此，可以得到新的估计

$I\approx \frac{1}{n}\sum _{i}f(u_i)+c(\frac{1}{n}\sum _{i}g(u_i)-3/2).$

以下为$n=1500$并使用估计的最优系数$c^{\star }\approx 0.4773$时，一次蒙特卡洛模拟所给出的积分估计值：

	估计	标准差
普通模拟	0.69475	0.01947
控制变量法	0.69295	0.00060

参考文献

• Ross, Sheldon M. (2002) Simulation 3rd edition Template:ISBN
• Averill M. Law & W. David Kelton (2000), Simulation Modeling and Analysis, 3rd edition. Template:ISBN
• S. P. Meyn (2007) Control Techniques for Complex Networks, Cambridge University Press. Template:ISBN. Downloadable draft (Section 11.4: Control variates and shadow functions)