拿破侖定理

拿破仑定理是拿破仑发现的平面几何定理：“以任意三角形各边为边分别向外侧作正三角形，则它们的中心(三心)連線必构成一个正三角形。”該正三角形稱為拿破仑三角形。如果向内作三角形结论同样成立。

证明

证明段落配图

为外侧任意两个正三角形作外接圆，其两圆有2个交点，其中一个交点为中间三角形的顶点，设另外一个交点为$O$，并连接$O$与中间三角形的另外两个顶点，因为$O$在两圆上，所以$\mathrm{\angle }AOB=\mathrm{\angle }AOC=\mathrm{\angle }COB=120^{\circ }$

因为中间正三角形的顶点在圆心上，且$AO$、$BO$、$CO$是外正三角形外接圆交点的连线，所以$OA$⊥$MN$、$OB$⊥$NL$、$OC$⊥$ML$

因为$\mathrm{\angle }ACO+\mathrm{\angle }CAO=60^{\circ }$，$\mathrm{\angle }CAO+\mathrm{\angle }AMN=\mathrm{\angle }ACO+\mathrm{\angle }CML=60^{\circ }$，所以$\mathrm{\angle }AMN+\mathrm{\angle }CML=60^{\circ }$，所以$\mathrm{\angle }NML=60^{\circ }$，其余二角同理。

基本性质

这一定理可以等价描述为：若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为30°的等腰三角形，则它们的顶点构成一个正三角形。
本圖形具備下列特徵:

• 線段$\overline{AX}=\overline{BY}=\overline{CZ}$，且該三線段交於一點，該點到ABC三點距離之和等於$\overline{AX}$（或$\overline{BY}$、$\overline{CZ}$）。
  
• $\overline{AX}$與$\overline{MN}$、$\overline{BY}$與$\overline{NL}$、$\overline{CZ}$與$\overline{ML}$互相垂直。
  
• $\mathrm{△}ACY,\mathrm{△}BCX,\mathrm{△}ABZ$之外接圓相交於一點，該點即線段$\overline{AX},\overline{BY},\overline{CZ}$之交點。
  

參見

• 四邊形上，類似的定理為凡·奧貝爾定理。
• 拿破仑定理本身為佩特諾-伊曼-道格拉斯定理的特例。
• 内拿破侖三角形的面积大于等于 0 给出外森比克不等式。
• 西姆松定理
• 九点圆

外部連結

• 拿破崙三角形的證明 Template:Wayback：利用圖解的方式，一步一步說明拿破崙三角形的原理Template:En。