外森比克不等式

Template:Unreferenced 外森比克不等式（Template:Lang）是有关三角形边长和面积的一个不等式。設三角形的邊長為$a,b,c$，面積為$A$，則外森比克不等式声称$a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3}A$成立。若且唯若三角形為等邊三角形，等號成立。佩多不等式是外森比克不等式的推广。

在1961年国际奥林匹克数学竞赛中，此题曾被拿來要求学生证明。

证明一

除了“所有平方数非负”以外，这个证明不用到其它任何不等式。

$\begin{array}{cc}& (a^2-b^2{)}^2+(b^2-c^2{)}^2+(c^2-a^2{)}^2\ge 0\\ ⟺& 2(a^4+b^4+c^4)-2(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)\ge 0\\ ⟺& \frac{4(a^4+b^4+c^4)}{3}\ge \frac{4(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)}{3}\\ ⟺& \frac{(a^4+b^4+c^4)+2(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)}{3}\ge 2(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)-(a^4+b^4+c^4)\\ ⟺& \frac{(a^2+b^2+c^2{)}^2}{3}\ge (4A{)}^2,\end{array}$

两边取平方根，即得证。

证明二

这个证明用到了排序不等式和算术-几何平均值不等式。

$\begin{array}{cccccc}& & a^2+b^2+c^2& \ge & & ab+bc+ca\\ ⟺& & 3(a^2+b^2+c^2)& \ge & & (a+b+c{)}^2\\ ⟺& & a^2+b^2+c^2& \ge & & \sqrt{3(a+b+c){\left(\frac{a+b+c}{3}\right)}^3}\\ ⟺& & a^2+b^2+c^2& \ge & & \sqrt{3(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}\\ ⟺& & a^2+b^2+c^2& \ge & & 4\sqrt{3}A.\end{array}$

证明三

内拿破仑三角形的面积的平方的6倍等于不等式左边减去右边，显然面积平方不小于 0，从而不等式成立。