拋物線座標系

拋物線坐標系的綠色的 $\sigma$ 等值曲線和紅色的 $\tau$ 等值曲線。横軸與縱軸分別為 x-軸與 y-軸。

拋物線坐標系（Template:Lang-en）是一種二維正交坐標系，兩個坐標的等值曲線都是共焦的拋物線。將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系。

實際上，拋物線坐標可以應用在許多物理問題。例如，斯塔克效應（Template:Lang），物體邊緣的位勢論，以及拉普拉斯-龍格-冷次向量的保守性。

二維拋物線坐標系

直角坐標 $(x,y)$ 可以用二維拋物線坐標 $(\sigma ,\tau )$ 表示為

$x=\pm \sigma \tau$ 、

$y=\frac{1}{2}({\tau }^2-{\sigma }^2)$ ；

其中，$\sigma \ge 0$ ，$\tau \ge 0$ 。

反算回來，二維拋物線坐標 $(\sigma ,\tau )$ 可以用直角坐標 $(x,y)$ 表示為

$\sigma =\sqrt{-y+\sqrt{x^2+y^2}}$ 、

$\tau =\sqrt{y+\sqrt{x^2+y^2}}$ 。

坐標 $\sigma$ 為常數的曲線形成共焦的，凹性向上的（往 +y-軸）拋物線：

$2y=\frac{x^2}{{\sigma }^2}-{\sigma }^2$ ，

而坐標 $\tau$ 為常數的曲線形成共焦的，凹性向下的（往 -y-軸）拋物線：

$2y=-\frac{x^2}{{\tau }^2}+{\tau }^2$ 。

這些拋物線的焦點的位置都在原點。

二維標度因子

拋物線坐標 $(\sigma ,\tau )$ 的標度因子相等：

$h_{\sigma }=h_{\tau }=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}$ 。

因此，面積的無窮小元素是

$dA=({\sigma }^2+{\tau }^2)d\sigma d\tau$ 。

拉普拉斯算子是

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\sigma }^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\tau }^2})$ 。

其它微分算子，像 $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ ， $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ ，都可以用 $(\sigma ,\tau )$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內的一般公式。

三維拋物線坐標系

三維拋物線坐標的坐標曲面。紅色的拋物曲面的坐標 $\tau =2$ 。藍色的拋物曲面的坐標 $\sigma =1$ 。黃色的半平面的坐標 $\varphi =-60^{\circ }$ 。三個面相交於點 $𝐏=(1.0,-1.732,1.5)$ （以黑色小球表示）。

將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系，又稱為旋轉拋物線坐標系。將對稱軸與 z-軸排列成同直線；而拋物線坐標系的共焦點與直角坐標系的原點同地點。直角坐標 $(x,y,z)$ 可以用三維拋物線坐標 $(\sigma ,\tau ,\varphi )$ 表示為

$x=\sigma \tau \cos \varphi$ 、

$y=\sigma \tau \sin \varphi$ 、

$z=\frac{1}{2}({\tau }^2-{\sigma }^2)$ ；

其中，$\sigma \ge 0$ ，$\tau \ge 0$ ，方位角 $\varphi$ 定義為

$\tan \varphi =\frac{y}{x},0\le \varphi \le 2\pi$ 。

反算回來，三維拋物線坐標 $(\sigma ,\tau ,\varphi )$ 可以用直角坐標 $(x,y,z)$ 表示為

$\sigma =\sqrt{-z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ 、

$\tau =\sqrt{z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ 、

$\varphi ={\tan }^{-1}\frac{y}{x}$ 。

每一個 $\sigma$-坐標曲面都是共焦的，凹性向上的（往 +z-軸）拋物曲面：

$2z=\frac{x^2+y^2}{{\sigma }^2}-{\sigma }^2$ ，

而每一個 $\tau$>-坐標曲面都是共焦的，凹性向下的（往 -z-軸）拋物曲面：

$2z=-\frac{x^2+y^2}{{\tau }^2}+{\tau }^2$ 。

這些拋物曲面的焦點的位置都在原點。

三維標度因子

三維標度因子為：

$h_{\sigma }=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}$ 、

$h_{\tau }=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}$ 、

$h_{\varphi }=\sigma \tau$ 。

我們可以觀察出，標度因子 $h_{\sigma }$ ， $h_{\tau }$ 與二維標度因子相同。因此，體積的無窮小元素是

$dV=h_{\sigma }{h}_{\tau }{h}_{\varphi }=\sigma \tau ({\sigma }^2+{\tau }^2)d\sigma d\tau d\varphi$ 。

拉普拉斯算子是

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}[\frac{1}{\sigma }\frac{\partial }{\partial \sigma }\left(\sigma \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \sigma }\right)+\frac{1}{\tau }\frac{\partial }{\partial \tau }\left(\tau \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \tau }\right)]+\frac{1}{{\sigma }^2{\tau }^2}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\varphi }^2}$ 。

其它微分算子，像 $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ ， $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ ，都可以用 $(\sigma ,\tau ,\varphi )$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系 條目內的一般公式。

第二種表述

另外還有一種拋物線坐標系的表述，專門用於哈密頓-亞可比方程式。假若使用此種表述的公式，則哈密頓-亞可比方程式可以很容易的分解出來。應用此方法，可以導引出拉普拉斯-龍格-冷次向量的恆定性．

採用下述從拋物線坐標變換至直角坐標的公式：

$\eta =-z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 、

$\xi =z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 、

$\varphi =\arctan \frac{y}{x}$ 。

假若 $\varphi =0$ ，則可得到一片截面；其坐標被限制於 $x\ge 0$ 的 +xz-半平面：

$\eta =-z+\sqrt{x^2+z^2}$ 、

$\xi =z+\sqrt{x^2+z^2}$ 。

假若包含於一條曲線的每一點的坐標 $\eta$ 是一個常數，$\eta =c$ ，則

${z|}_{\eta =c}=\frac{x^2}{2c}-\frac{c}{2}$ 。

這是一個共焦點在原點的拋物線；對稱軸與 z-軸同軸；凹性向上。

假若包含於一條曲線的每一點的坐標 $\xi$ 是一個常數，$\xi =b$ ，則

${z|}_{\xi =b}=\frac{b}{2}-\frac{x^2}{2b}$ 。

這也是一個共焦點在原點的拋物線；對稱軸與 z-軸同軸；凹性向下。

思考任何一條向上的拋物線 $\eta =c$ 與任何一條向下的拋物線 $\xi =b$ ，我們想要求得兩條曲線的相交點：

$\frac{x^2}{2c}-\frac{c}{2}=\frac{b}{2}-\frac{x^2}{2b}$ 。

稍微計算，可得

$x=\sqrt{bc}$ 。

將相交點的横坐標 $x$ 代入向上的拋物線的公式，

$z_c=\frac{bc}{2c}-\frac{c}{2}=\frac{b-c}{2}$ 。

所以，相交點 P 坐標為 $(\sqrt{bc},\frac{b-c}{2})$ 。

思考正切這兩條拋物線於點 P 的一對切線。向上的拋物線的切線的斜率為

$\frac{d{z}_c}{dx}=\frac{x}{c}=\sqrt{\frac{b}{c}}=s_c$ 。

向下的拋物線的切線的斜率為

$\frac{d{z}_b}{dx}=-\frac{x}{b}=-\sqrt{\frac{c}{b}}=s_b$ 。

兩個斜率的乘積為

$s_c{s}_b=-1$ 。

所以，兩條切線相垂直。對於任何兩條凹性相反的拋物線，都會有同樣的結果。

假設 $\varphi \ne 0$ 。讓 $\varphi$ 值從 $0$ 緩慢增值，這半平面會相應地繞著 z-軸按照右手定則旋轉；拋物線坐標為常數的拋物線 形成了拋物曲面。一對相反的拋物曲面的相交 設定了一個圓圈。而 $\varphi$ 值設定的半平面，切過這圓圈於一個唯一點。這唯一點的直角坐標是：

$x=\sqrt{\eta \xi }\cos \varphi$ 、

$y=\sqrt{\eta \xi }\sin \varphi$ 、

$z=\frac{1}{2}(\xi -\eta )$ 。

參考文獻

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