拉比周期

Template:NoteTA 在物理学中，拉比周期是在振荡外场中的二能级量子体系的周期性行为。一个二能级系统具有两个可能的状态，如果状态不是简并的，当吸收一份能量以后，体系可以被激发。

这种效应在量子光学、核磁共振和量子计算中非常重要，它是以伊西多·伊萨克·拉比（Isidor Isaac Rabi）的名字命名的。

当一个原子（或者其它二能级体系）被一束相干光照射的时候，它将周期性地吸收光子并透過受激发射重新将光子发射出来，这样一个周期称为拉比周期，它的倒数称为Template:Link-en。

这种机制是量子光学的基础，其模型的建立可以依据傑恩斯-卡明斯模型和布洛赫矢量形式。

例如，对于频率受外部电磁场调制到激发态的二能级原子（该原子的电子可以处于激发态或者基态），利用布洛赫方程可以得到，原子处于激发态的机率为$|c_b(t){|}^2=\sin (\omega t/2{)}^2$ ，其中$\omega$为Template:Link-en。

更一般地，可以考虑一个没有本征态的二能级体系，如果这个体系初态位于其中一个能级，时间演化将导致每个能级的态密度按照某个特征频率振荡，其角频率也称为Template:Link-en。

数学处理

拉比效應的數學細節請參見Template:Le。 例如，若將电磁场频率调至激发能，並於電磁場當中置入一個雙態原子（該原子之电子可以处于激发态或基态），那麼處於激發態原子之機率可以从Bloch方程得出：

$|c_b(t){|}^2\propto {\sin }^2(\omega t/2)$

$\omega$是拉比频率。

更一般而言，我們可以考虑一種，兩個能階都不是能量本征态的系统 。因此，如果在其中一個能階對系统初始化，则时间演化将使每个能階的總粒子數以某个特征频率振荡，其角频率也称为拉比频率。 該雙態量子系统的状态可以表示为二维希尔伯特空间複向量 ，这意味着每个状态向量 $|\psi ⟩$是以標准的复数坐标表示。

$|\psi ⟩=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right)=c_1\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right);$$c_1$和$c_2$是坐标。

如果向量归一化， $c_1$和$c_2$的关联為${|c_1|}^2+{|c_2|}^2=1$ 。 基向量表示为$|0⟩=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$和$|1⟩=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

所有与该系统相关的可观测物理量均为2 $\times$ 2埃尔米特矩阵 ，这表示系统的哈密顿量也是相似矩阵。

如何在量子系统中准备振荡实验

可以透過以下步骤建構振荡实验：

1. 准备系统，使之處於固定狀态；例如 $|1⟩$
2. 在哈密顿量H下，讓态隨时间t自由演化
3. 求出狀态为$|1⟩$的機率 P(t)

如果$|1⟩$是H的本征态且P(t)=1 ，那麼就不会產生振荡。此外，如果两個態$|0⟩$和$|1⟩$皆為簡併態，那麼包括$|1⟩$在內的所有态皆為H的本征态。因此也不会產生振荡。

另一方面，若H無简并本征态，且初态不是本征态，则振荡将會產生。 雙態系統哈密頓量的最一般形式給定如下

$𝐇=\left(\begin{array}{cc}{a}_0+a_3& a_1-i{a}_2\\ a_1+i{a}_2& a_0-a_3\end{array}\right)$

$a_0,a_1,a_2$

和

$a_3$

是实数。 这个矩阵可以分解为

$𝐇=a_0\cdot {\sigma }_0+a_1\cdot {\sigma }_1+a_2\cdot {\sigma }_2+a_3\cdot {\sigma }_3;$

${\sigma }_0$

是2

$\times$

2單位矩陣，

${\sigma }_k(k=1,2,3)$

是泡利矩陣 。 尤其是在与时间无关的情况下，这种分解能夠简化系统分析，其中

$a_0,a_1,a_2$

和

$a_3$

是常数。考虑置於磁场

$𝐁=B\widehat{𝐳}$

之中的自旋1/2粒子。该系统的交互作用能量算符为

$𝐇=-\mathit{\mu }\cdot 𝐁=-\gamma 𝐒\cdot 𝐁=-\gamma B{S}_z$

，

$S_z=\frac{\hslash }{2}{\sigma }_3=\frac{\hslash }{2}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

$\mu$

是粒子磁矩的大小，

$\gamma$

是旋磁比 ，

$\mathit{\sigma }$

是泡利矩陣之向量。此處哈密顿量之本征态是

${\sigma }_3$

，而

$|1⟩$

和

$|2⟩$

具有对应的本徵值

$E_{+}=\frac{\hslash }{2}\gamma B{E}_{-}=-\frac{\hslash }{2}\gamma B$

。 我們可以在系统处于状态

$|\psi ⟩$

下，給出找到任意状态

$|\varphi ⟩$

之機率

${|⟨\varphi |\psi ⟩|}^2$

。在

$t=0$

的時刻，让系统处于准备状态

$|+X⟩$

。 注意到

$|+X⟩$

是

${\sigma }_1$

的本征态 ：

$|\psi (0)⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

此處的哈密顿量与时间无关。 因此，透過求解平稳的薛丁格方程，在經過时间t之后，狀態演變為

$|\psi (t)⟩=\exp \left[\frac{-i𝐇t}{\hslash }\right]|\psi (0)⟩=\left(\begin{array}{cc}\exp \left[\frac{-i{E}_{+}t}{\hslash }\right]& 0\\ 0& \exp \left[\frac{-i{E}_{-}t}{\hslash }\right]\end{array}\right)|\psi (0)⟩$

，帶有系统总能量

$E$

。 因此經過时间t之后，状态成为：

$|\psi (t)⟩=e^{\frac{-i{E}_{+}t}{\hslash }}\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩+e^{\frac{-i{E}_{-}t}{\hslash }}\frac{1}{\sqrt{2}}|1⟩$

现在假设在t時刻，對x方向上的自旋進行测量。 下式给出測量到自旋向上的機率：

${|⟨+X|\psi (t)⟩|}^2={\left|\frac{⟨0|+⟨1|}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\exp \left[\frac{-i{E}_{+}t}{\hslash }\right]|0⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}\exp \left[\frac{-i{E}_{-}t}{\hslash }\right]|1⟩\right)\right|}^2={\cos }^2\left(\frac{\omega t}{2}\right),$

$\omega$

是特徵角频率，假设

$E_{-}\ge E_{+}$

的情形，給定

$\omega =\frac{E_{-}-E_{+}}{\hslash }=\gamma B$

。 在这种情况下，当系统最初自旋是在

$|+X⟩$

方向，那麼x方向发现自旋向上的機率會随著时间

$t$

而振盪。 同样，如果我们测量

$|+Z⟩$

方向，那麼所测量到的系统自旋为

$\frac{\hslash }{2}$

之機率為

$\frac{1}{2}$

。在

$E_{+}=E_{-}$

簡併情形下 ，特征频率為0，無振盪發生。

留意到，如果系统处于给定哈密顿量的本征态，则系统将維持在该状态，保持不變。

這同樣也適用於时间相依的哈密顿函数。 以$\hat{H}=-\gamma S_{z}B\sin (\omega t)$ 為例；如果系统的初始自旋状态为$|+Y⟩$ ，那麼在$t$時刻，自旋在y方向测量结果為$+\frac{\hslash }{2}$之機率為${\left|⟨+Y|\psi (t)⟩\right|}^2={\cos }^2(\frac{\gamma B}{2\omega }\cos \left(\omega t\right))$ 。

電離氫分子兩態間的拉比振盪。
電離氫分子是由兩個質子$P_1$、$P_2$和一個電子所組成。由於質子質量較大，因此這兩個質子可以被視為固定不動的。設R為質子之間的距離，而 $|1⟩$和$|2⟩$兩個態的電子所處之位置，約坐落在$P_1$或$P_2$附近。假設在某一時刻，電子位於質子$P_1$附近。根據前一節的結果，我們知道它將在兩個質子之間振盪，而振盪頻率等於與兩個分子定態$|E_{+}⟩$和$|E_{-}⟩$有關的玻爾頻率。這種在兩個態之間的電子振盪，對應於分子電偶極矩平均值的振盪。因此，當分子不處於定態時，就能夠產生一個振盪的電偶極矩。這種振盪偶極矩可以與同頻率的電磁波交換能量。因此，這個頻率必須出現在電離氫分子的吸收光譜和發射光譜中。

以包立矩陣推導非微擾過程之拉比公式

考虑以下形式的哈密顿量

$\hat{H}=E_0\cdot {\sigma }_0+W_1\cdot {\sigma }_1+W_2\cdot {\sigma }_2+\mathrm{\Delta }\cdot {\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}{E}_0+\mathrm{\Delta }& W_1-i{W}_2\\ W_1+i{W}_2& E_0-\mathrm{\Delta }\end{array}\right).$

該矩陣的特徵值為

${\lambda }_{+}=E_{+}=E_0+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^2+{W_1}^2+{W_2}^2}=E_0+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^2+{\left|W\right|}^2}$

，

${\lambda }_{-}=E_{-}=E_0-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^2+{W_1}^2+{W_2}^2}=E_0-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^2+{\left|W\right|}^2}$

。

此處

$𝐖=W_1+ıW_2$

，

${\left|W\right|}^2={W_1}^2+{W_2}^2=W{W}^{*}$

。因此我們可以取

$𝐖=\left|W\right|e^{ı\varphi }$

。

現在，由方程式 :$\left(\begin{array}{cc}{E}_0+\mathrm{\Delta }& W_1-i{W}_2\\ W_1+i{W}_2& E_0-\mathrm{\Delta }\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=E_{+}\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$，我們可以得到$E_{+}$的特徵向量。

因此， $b=-\frac{a(E_0+\mathrm{\Delta }-E_{+})}{W_1-i{W}_2}$。

對特徵向量採用歸一化條件${\left|a\right|}^2+{\left|b\right|}^2=1$。

因此 ${\left|a\right|}^2+{\left|a\right|}^2{(\frac{\mathrm{\Delta }}{\left|W\right|}-\frac{\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^2+{\left|W\right|}^2}}{\left|W\right|})}^2=1$。

令 $\sin \theta =\frac{\left|W\right|}{\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^2+{\left|W\right|}^2}}$，$\cos \theta =\frac{\mathrm{\Delta }}{\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^2+{\left|W\right|}^2}}$。所以$\tan \theta =\frac{\left|W\right|}{\mathrm{\Delta }}$。

我們得到 ${\left|a\right|}^2+{\left|a\right|}^2\frac{(1-\cos \theta {)}^2}{{\sin }^2\theta }=1$，即 ${\left|a\right|}^2={\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)$。取任意相角$\varphi$，我們可以寫下 $a=\exp (ı\varphi /2)\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)$. 同理可證，$b=\exp (-ı\varphi /2)\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)$。

所以特徵值$E_{+}$之特徵向量為$|E_{+}⟩=\left(\begin{array}{c}\cos (\theta /2)\\ e^{ı\varphi }\sin (\theta /2)\end{array}\right)$。

由於總相角較無關緊要，我們可以寫下 $|E_{+}⟩=\left(\begin{array}{c}\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)\\ e^{ı\varphi }\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\end{array}\right)=\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)|0⟩+e^{ı\varphi }\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)|1⟩$。

類似地, 特徵能量$E_{-}$之特徵向量為 $|E_{-}⟩=\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)|0⟩-e^{ı\varphi }\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)|1⟩$。

從這兩個方程，我們可以寫出

$|0⟩=\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)|E_{+}⟩+\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)|E_{-}⟩$

$|1⟩=e^{-ı\varphi }\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)|E_{+}⟩-e^{-ı\varphi }\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)|E_{-}⟩$。

假設系統開始時在時刻 $t=0$的狀態是$|0⟩$，也就是說，$|\psi \left(0\right)⟩=|0⟩=\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)|E_{+}⟩+\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)|E_{-}⟩$。經過時間t之後，狀態演變為

$|\psi \left(t\right)⟩=e^{\frac{-i\hat{H}t}{\hslash }}|\psi \left(0\right)⟩=\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)e^{\frac{-i{E}_{+}t}{\hslash }}|E_{+}⟩+\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)e^{\frac{-i{E}_{-}t}{\hslash }}|E_{-}⟩$。

如果系統處於$|E_{+}⟩$ 或 $|E_{-}⟩$之中的某一個本徵態，那麼它將會維持在同一個本徵態。然而，對於如上所示的一般初始狀態而言，時間演化並不顯然。

系統在時刻t處於狀態$|1⟩$的機率幅為 $⟨1|\psi (t)⟩=e^{ı\varphi }\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)(e^{\frac{-ıE_{+}t}{\hslash }}-e^{\frac{-ıE_{-}t}{\hslash }})$。

系統當前處於

$|\psi (t)⟩$

，而之後處於任意態

$|1⟩$

的機率為

$\begin{array}{cc}{P}_{0\to 1}(t)& ={|⟨1|\psi (t)⟩|}^2\\ & =e^{-ı\varphi }\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)(e^{\frac{+ıE_{+}t}{\hslash }}-e^{\frac{+ıE_{-}t}{\hslash }})e^{+ı\varphi }\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)(e^{\frac{-ıE_{+}t}{\hslash }}-e^{\frac{-ıE_{-}t}{\hslash }})\\ & =\frac{{\sin }^2\theta }{4}(2-2\cos \left(\frac{(E_{+}-E_{-})t}{\hslash }\right))\end{array}$

這可以簡化為

$P_{0\to 1}(t)={\sin }^2(\theta ){\sin }^2\left(\frac{(E_{+}-E_{-})t}{2\hslash }\right)=\frac{{\left|W\right|}^2}{{\mathrm{\Delta }}^2+{\left|W\right|}^2}{\sin }^2\left(\frac{(E_{+}-E_{-})t}{2\hslash }\right)$

.........(1)

這表明， 當系統最初處於狀態

$|0⟩$

時，該系統最終處於狀態

$|1⟩$

的機率是有限的。機率是以角頻率

$\omega =\frac{E_{+}-E_{-}}{2\hslash }=\frac{\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^2+{\left|W\right|}^2}}{\hslash }$

振盪，而

$\omega$

是系統唯一的玻爾頻率，又稱為Template:Link-en。而式子(1)亦可稱為拉比公式。在時間t之後，系統處於狀態

$|0⟩$

的機率為

${|⟨0|\psi (t)⟩|}^2=1-{\sin }^2(\theta ){\sin }^2\left(\frac{(E_{+}-E_{-})t}{2\hslash }\right)$

，同樣也是振盪形式。

這些二能階系統的振盪稱為拉比振盪，在許多問題之中都會發生這種振盪，如中微子振荡、Template:Le、量子计算、氨邁射等等。

量子计算中的拉比振盪

任何双态量子系统都可以用来模拟量子位元。現在考虑一个自旋$\frac{1}{2}$系统，將磁矩$\mathit{\mu }$置于经典磁场$𝑩=B_0\hat{z}+B_1(\cos (\omega t)\hat{x}-\sin (\omega t)\hat{y})$之中。令系统旋磁比$\gamma$，因此磁矩$\mathit{\mu }=\frac{\hslash }{2}\gamma \mathit{\sigma }$，可以給出该系统的哈密顿量$𝐇=-\mathit{\mu }\cdot 𝐁=-\frac{\hslash }{2}{\omega }_0{\sigma }_z-\frac{\hslash }{2}{\omega }_1({\sigma }_x\cos \omega t-{\sigma }_y\sin \omega t)$，此處${\omega }_0=\gamma B_0$，${\omega }_1=\gamma B_1$。

透過上述步骤，我們可以求得哈密顿量的特征值和特征向量。现在，让量子位元在$t=0$時刻處於量子態$|0⟩$，那么，在$t$时刻，量子位元处于量子態$|1⟩$的機率為$P_{0\to 1}(t)={\left(\frac{{\omega }_1}{\mathrm{\Omega }}\right)}^2{\sin }^2\left(\frac{\mathrm{\Omega }t}{2}\right)$$\mathrm{\Omega }=\sqrt{(\omega -{\omega }_0{)}^2+{\omega }_1^2}$，这种现象就稱作拉比振盪。因此，量子位元會在量子態$|0⟩$和$|1⟩$之间振荡。振盪的振幅會在$\omega ={\omega }_0$達到最大，而这即為共振条件。共振时的跃迁機率為$P_{0\to 1}(t)={\sin }^2\left(\frac{{\omega }_{1}t}{2}\right)$，要从一個量子態$|0⟩$跃迁到另一個量子態$|1⟩$，只需调整旋转场作用的时间$t$滿足$\frac{{\omega }_{1}t}{2}=\frac{\pi }{2}$或是$t=\frac{\pi }{{\omega }_1}$就充分了，这叫做「$\pi$脈衝」。如果选择的时间介于0和$\frac{\pi }{{\omega }_1}$之间，我们會得到$|0⟩$和$|1⟩$的疊加態。尤其是當$t=\frac{\pi }{2{\omega }_1}$的時候，我们會得到一個「$\frac{\pi }{2}$脈衝」，它的作用是造成$|0⟩\to \frac{|0⟩+i|1⟩}{\sqrt{2}}$量子態躍遷，而這個操作在量子計算中起到至關重要的作用。当对激光场中的二能階原子进行大致满意的旋转波近似时，方程基本上是相同的。然后两个原子能階之间的能量差$\hslash {\omega }_0$($\omega$是激光波的频率)及拉比频率${\omega }_1$，与原子的跃迁电偶极矩$\overrightarrow{d}$与激光波电场$\overrightarrow{E}$的乘积成正比，也就是${\omega }_1\propto \hslash \overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{E}$。總而言之，拉比振盪是用於操縱量子位元的基本過程，而這個振盪是在適當調整的時間間隔內，藉由將量子位元暴露在周期性的電場或磁場中來獲得。

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外部链接

• -{R|https://web.archive.org/web/20110719095612/http://www.itp.tu-berlin.de/menue/lehre/owl/quantenmechanik/zweiniveau/parameter/en/}-

A Java applet that visualizes Rabi Cycles of two-state systems (laser driven).

• -{R|https://web.archive.org/web/20110719095819/http://www.itp.tu-berlin.de/menue/lehre/owl/quantenmechanik/elektron-phonon-wechselwirkung/parameter/en/}-

extended version of the applet. Includes electron phonon interaction.