拉克斯-米爾格拉姆定理

拉克斯－米爾格拉姆定理是數學泛函分析的定理，以彼得·拉克斯和阿瑟·米爾格拉姆命名。这定理可用來藉弱形式求解偏微分方程，因此主要用作有限元法的理論基礎。

敘述

設

• $\mathscr{H}$是實希爾伯特空間，其內積記作$⟨\cdot ,\cdot ⟩$，導出範數$\Vert \cdot \Vert$，
• $a(\cdot ,\cdot )$是雙線性型，使得

• 在$\mathscr{H}\times \mathscr{H}$上連續：

$\mathrm{\exists }c>0,\mathrm{\forall }(u,v)\in {\mathscr{H}}^2,|a(u,v)|\le c\Vert u\Vert \Vert v\Vert$，

• 在$\mathscr{H}$上強制（有稱為$\mathscr{H}$－橢圓性)：

$\mathrm{\exists }\alpha >0,\mathrm{\forall }u\in \mathscr{H},a(u,u)\ge \alpha \Vert u{\Vert }^2$，

• $L$是$\mathscr{H}$上的連續線性型。

那麼存在唯一的$u\in \mathscr{H}$，使得對所有$v\in \mathscr{H}$都有$a(u,v)=Lv$：

$(1)\mathrm{\exists }!u\in \mathscr{H},\mathrm{\forall }v\in \mathscr{H},a(u,v)=Lv$。

而且如果$a$是對稱的，那麼$u$是$\mathscr{H}$中唯一的元素，使得以下泛函取最小值$J:\mathscr{H}\to ℝ$，$J(v)=\frac{1}{2}a(v,v)-Lv$對所有$v\in \mathscr{H}$，即：

$(2)\mathrm{\exists }!u\in \mathscr{H},J(u)=\underset{v\in \mathscr{H}}{\min }J(v)$。

證明

一般情形

套用里斯表示定理到連續線性型上，可知存在唯一的$f\in \mathscr{H}$，使得$Lv=⟨f,v⟩$對任意$v\in \mathscr{H}$成立。

對所有$u\in \mathscr{H}$，映射$v\mapsto a(u,v)$是$\mathscr{H}$上連續線性型，因此同樣可知存在唯一的$A_u\in \mathscr{H}$，使得$a(u,v)=⟨A_u,v⟩$對任意$v\in \mathscr{H}$成立。易知算子$A:u\mapsto A_u$ 是一個$\mathscr{H}$上連續線性自同態。由此可把$(1)$表示成如下等價形式：

$\mathrm{\exists }!u\in \mathscr{H},Au=f$

要證明此命題，只要證得$A$是從$\mathscr{H}$到$\mathscr{H}$的雙射。首先證明它是單射，再證它是滿射。

從$a$的強制性，使用柯西－施瓦茨不等式，得到對任何$v\in \mathscr{H}$

$\alpha \Vert v{\Vert }^2\le a(v,v)=⟨Av,v⟩\le \Vert Av\Vert \Vert v\Vert$

從而知對任何$v\in \mathscr{H}$

$\Vert Av\Vert \ge \alpha \Vert v\Vert$ (*)。

這證明了$A$是單射。

要證明滿射，考慮算子$A$在$\mathscr{H}$內的像$𝒵$。

不等式(*)表示，如$A{u}_n$是柯西序列，那麼$u_n$ 是$\mathscr{H}$內的柯西序列。由$\mathscr{H}$的完備性，$u_n$收斂至$u\in \mathscr{H}$。因$A$連續，得出$A{u}_n$收斂至$Au$。

$𝒵$因此為$\mathscr{H}$中的閉子空間，由投影定理可知$\mathscr{H}=𝒵\oplus {𝒵}^{\perp }$。

再設元素$w\in {𝒵}^{\perp }$，從定義有$⟨Aw,w⟩=0$，因此

$\alpha \Vert w{\Vert }^2\le a(w,w)=⟨Aw,w⟩=0$

故得$w=0$。所以${𝒵}^{\perp }$為$\{0\}$，證得$A$是滿射。

自同態$A$是雙射，故在$\mathscr{H}$內存在唯一的$u$使得$Au=f$，且可以由$u=A^{-1}f$得出。

附注

不用求出$u$，有其範數的上界估計

$\Vert u\Vert \le \frac{\Vert L{\Vert }^{\prime }}{\alpha }$

其中$\Vert \cdot {\Vert }^{\prime }$表示對偶空間${\mathscr{H}}^{*}$的範數。

對稱情形

如果雙線性型$a$對稱，那麼對所有$w\in \mathscr{H}$有：

$J(u+w)=J(u)+(a(u,w)-Lw)+\frac{1}{2}a(w,w)$

因$u$是命題(1)的唯一解，有

$J(u+w)=J(u)+\frac{1}{2}a(w,w)$

從$a$的強制性有：

$J(u+w)\ge J(u)+\frac{\alpha }{2}\Vert w{\Vert }^2$

取$v=u+w$，從上式有$J(u)\le J(v)$對任意$v\in \mathscr{H}$成立，因而得到$(2)$的結果。

應用

這定理是有限元法的基礎。實際上，若不在$\mathscr{H}$內求$u$，而是在$\mathscr{H}$的有限$n$維子空間${\mathscr{H}}_n$內求$u_n$，那麼

• 如果$a$對稱，以$a$為內積，$u_n$是$u$的投影。
• 給出${\mathscr{H}}_n$的基$({\phi }_i)$，上述問題化為求解線性方程組：

$\underset{\_}{\underset{\_}{A}}\underset{\_}{u_n}=\underset{\_}{b}$

其中$A_{ij}=a({\phi }_j,{\phi }_i)$，$b_i=L{\phi }_i$。