托里拆利小號

托里拆利小號的3D绘图.

托里拆利小號（Torricelli's Trumpet）是由意大利数学家埃萬傑利斯塔·托里拆利（Evangelista Torricelli）所提出的一個表面積無限大但體積有限的三維形狀。此形狀又被稱為加百列號角（Gabriel's Horn），根據基督教傳說，天使長加百利吹號角以宣布審判日（Judgment Day）的到來。

數學定義

這個曲面是由$y=1/x$（x的域為$x\ge 1$）的曲線沿$x$軸旋轉而成。以下是其体积和表面积的推导：

使用旋轉體的體積(V)和旋轉曲面的面積(A)公式，可得：

$V=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\pi y^2\mathrm{d}x=\pi \underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x=\pi$

$A=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}2\pi y\sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{)}^2}\mathrm{d}x=2\pi \underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}}{x}\mathrm{d}x>2\pi \underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\mathrm{\infty }$

可见，托里拆利小号的体积是有限的但是表面积是无限的，其体积和表面积除了微積分方法也可以用祖暅原理得出。

需要注意的是，托里拆利小号和伪球面的形状和性质（体积有限）相似，但两者是完全不同的曲面。

参阅

• 双曲线
• 科赫曲線
• 宇宙的形状
• 旋轉曲面
• 芝诺悖论

外部链接

• Information and diagrams about Gabriel's horn
• Torricelli's trumpet at PlanetMath Template:Wayback
• Template:MathWorld
• "Gabriel's Horn" Template:Wayback by John Snyder, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Gabriel's Horn: An Understanding of a Solid with Finite Volume and Infinite Surface Area Template:Wayback by Jean S. Joseph.