恩格尔展开式

Engel展開式是一個正整數數列 ${a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . .}$ ，使得一個正實數可以以一種唯一的方式表示成埃及分數之和：

x = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{1} a_{2} a_{3}} + . . .

有理數的展開式是有限的，無理數的是無限的。Engel 展开式得名于 F. Engel，他在 1913 年研究了它们。

Engel展开与连分数

Kraaikamp 和 Wu (2004年) 发现 Engel 展开可以被看作是连分数的上升变体。

x = \frac{1 + \frac{1 + \frac{1 + \dots}{a_{3}}}{a_{2}}}{a_{1}} .

u_{1} = x

a_{k} = ⌈ \frac{1}{u_{k}} ⌉

u_{k + 1} = u_{k} a_{k} - 1

$⌈ r ⌉$ 表示最小的整數大於或等於 $r$ 。

若 $u_{i} = 0$ ，則停止。

k	u_k	a_k	u_k+1
1	3/7	3	2/7
2	2/7	4	1/7
3	1/7	7	0

$\frac{3}{7} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{3 \times 4 \times 7}$

${3, 4, 7}$