德拜函数

Template:校对翻译 德拜函数（Debye function）是彼得·德拜于1912年估算声子对固体的比热的德拜模型时创立的函数，定义如下

德拜函数

$D_n(x)=\frac{n}{x^n}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{t^n}{e^t-1}dt.$

展开式

$D_n(x)=1-\frac{n}{2(n+1)}x+n\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{(2k+n)(2k)!}{x}^{2k},|x|<2\pi ,n\ge 1$。

其中$B_{2k}$是伯努利数。

$D_n(x)=\frac{n*((-1{)}^n*n!*\zeta (n+1)+\sum _{m=0}^n((-1{)}^{n-m+1}*n!*x^m*L{i}_{n-m+1}(e^x/m!))}{x^{n+1}}-\frac{n}{n+1}$

其中$L{i}_m(x)$是m阶多重对数

渐近式

For $x\to 0$ :

$D_n(0)=1$。

For $x\ll 1$ : $D_n$:$D_n(x)\propto \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}t\frac{t^n}{\exp (t)-1}=\mathrm{\Gamma }(n+1)\zeta (n+1).[\mathrm{\Re }n>0]$

相关函数

Debye function Maple complex3D animation

也有将德拜函数定义为

$d_n(z)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{t^n}{e^t-1}dt$ $=n!*\zeta (n+1)-\frac{x^{n+1}}{n+1}+\sum _{k=0}^n((-1{)}^{k+1}*(\prod _{j=0}^{k-1}((n-j)*x^{n-k}*L{i}_{k+1}(exp(x)))))$