径向基函数

径向基函数（Template:Lang-en，缩写为RBF）是一个取值仅依赖于到原点距离的Template:Le，即$\varphi (𝐱)=\varphi (\Vert 𝐱\Vert )$。此外，也可以按到某一中心点c的距离来定义， 即$\varphi (𝐱,𝐜)=\varphi (\Vert 𝐱-𝐜\Vert )$。任一满足$\varphi (𝐱)=\varphi (\Vert 𝐱\Vert )$的函数都可称作径向函数。其中，范数一般为欧几里得距离，不过亦可使用其他距离函数。

可以用于许多向函基数的和来逼近某一给定的函数。这一逼近的过程可看作是一个简单的神经网络。此外在机器学习中，径向基函数还被用作支持向量机的核函数。

类型

常见的径向基函数包括（定义$r=\Vert 𝐱-{𝐱}_i\Vert$）：

• 高斯函数：

$\varphi (r)=e^{-(\epsilon r{)}^2}$

• 多二次函数（multiquadric）：

$\varphi (r)=\sqrt{1+(\epsilon r{)}^2}$

• 逆二次函数（inverse quadratic）：

$\varphi (r)=\frac{1}{1+(\epsilon r{)}^2}$

• 逆多二次函数（inverse multiquadric）：

$\varphi (r)=\frac{1}{\sqrt{1+(\epsilon r{)}^2}}$

• 多重调和样条（polyharmonic spline）：

$\varphi (r)=r^k,k=1,3,5,\dots$

$\varphi (r)=r^k\ln (r),k=2,4,6,\dots$

• 薄板样条（thin plate spline，为多重调和样条的特例）：

$\varphi (r)=r^2\ln (r)$

参见

• 径向基函数网络
• 径向基函数核
• Kansa方法