当德兰-格拉夫方法

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当德兰-格拉夫方法Template:Lang-enTemplate:Lang-de)是求多項式根的數值方法之一,由幾位18世紀數學家Karl Heinrich Gräffe、Germinal Pierre Dandelin羅巴切夫斯基分別獨立提出。

設欲解的方程為p(x)=(xx1)(xx2)...(xxn)

p(x)=(1)n(x+x1)(x+x2)...(x+xn)
p2(x2)=p(x)p(x)=(1)n(x2x12)(x2x22)...(x2xn2)

重複類似的步驟k次,可得以x12k,x22k...為根的方程q,設y=x2k

q(y)=yn+a1yn1+...+an

根據韋達定理

a1=(y1+y2+...+yn)
a2=y1y2+y1y3+...+yn1yn
...

若經過多次自乘後,這些根相差得足夠大,使得:

a1y1
a2y1y2
...

對每個yi2k次根便可求得p(x)的根。

這個方法有缺點包括:

  • 經過數次的步驟,雙倍精確數目可能也不足以儲存要用到的數值,誤差頗大。
  • 如果有複數根或重根就更繁複。

外部連結