彈性碰撞

Template:NoteTA 彈性碰撞是碰撞前後整個系統動能不變的碰撞。彈性碰撞的必要條件是動能沒有轉成其他形式的能量（熱能、轉動能量），例如：原子的碰撞。

一維碰撞

動能守恆：(初速度记为 $u$ ，末速度记为 $v$ )

$\frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$

動量守恆：

$m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}$

从动量守恒式解 $v_{1}$ ：

$v_{1} = \frac{m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} - m_{2} v_{2}}{m_{1}}$

我们不想让 $v_{1}$ 的分子中出现末速 $v_{2}$ ，这里需要一些技巧换掉 $v_{2}$ ！

对动能守恒式使用平方差公式：

$m_{1} u_{1}^{2} + m_{2} u_{2}^{2} = m_{1} v_{1}^{2} + m_{2} v_{2}^{2}$

$m_{1} (u_{1} - v_{1}) (u_{1} + v_{1}) = m_{2} (v_{2} - u_{2}) (v_{2} + u_{2})$

对动量守恒式移项：

$m_{1} (u_{1} - v_{1}) = m_{2} (v_{2} - u_{2})$

上面两式直接相除：

$u_{1} + v_{1} = v_{2} + u_{2}$

现在可得 $v_{1}$ 的最终形式：

$v_{1} = \frac{m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} - m_{2} (u_{1} + v_{1} - u_{2})}{m_{1}}$

把 $v_{1}$ 整理到一起：

$v_{1} = \frac{u_{1} (m_{1} - m_{2}) + 2 m_{2} u_{2}}{m_{1} + m_{2}}$

同理，使用相同的套路也可得：

$v_{2} = \frac{u_{2} (m_{2} - m_{1}) + 2 m_{1} u_{1}}{m_{1} + m_{2}}$

或用質心速度化簡為：

$u_{1} + v_{1} = \frac{2 m_{1} v_{1} + 2 m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}} = 2 v_{CoM}$

和

$u_{2} + v_{2} = 2 v_{CoM}$

性質

$v_{1} - v_{2} = u_{2} - u_{1}$ ：一個物件相對另一個物件的速度，在碰撞後逆轉。
物件在碰撞前後的平均動量相同。
質心的速度不變。
兩個碰撞物的質量相同，則兩者速度互換。
若一物碰撞一個質量相對極小的另一物，則前者的速度幾乎不變，而後者以近乎原前者兩倍速度彈出。
若一物碰撞一個質量相對極大的另一物，則前者的以近乎原速率反彈，而後者幾乎不動。

例子

應用

中子减速劑有許多質量小的原子核的原子（另一個好處是它們不易吸收中子），因為質量最小的原子核和中子的質量十分接近。

參見

非弹性碰撞
恢復系數

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