弱微分

在数学中，弱微分（Weak Derivative）是一个函数的微分（强微分）概念的推广，它可以作用于那些勒贝格可积（Lebesgue Integrable）的函数，而不必预设函数的可微性（事实上大部分可以弱微分的函数并不可微）。一个典型的勒贝格可积函数的空间是$L^1([a,b])$。在分布中，可以定义一个更一般的微分概念。

定义

令$u$是一个在$L^1([q,p])$中的勒贝格可积的函数，称$v\in L^1([q,p])$是$u$的一个弱微分，如果

$\underset{q}{\overset{p}{\int }}u(t){\phi }^{\prime }(t)dt=-\underset{q}{\overset{p}{\int }}v(t)\phi (t)dt$

其中$\phi$是任意一个连续可微的函数，并且满足$\phi (p)=\phi (q)=0$。

推广到$n$维的情形，如果$u$和$v$是$L_{loc}^1(U)$中的函数（在某个开集$U\subset {ℝ}^n$中局部可积），并且$\alpha$是一个多重指标，那么$v$称为$u$的$\alpha$次弱微分，如果

$\underset{U}{\int }u{D}^{\alpha }\phi =(-1{)}^{|\alpha |}\underset{U}{\int }v\phi$

其中$\phi \in C_c^{\mathrm{\infty }}(U)$是一个任意给定的函数，即给定的支撑集含于$U$的无穷可微的函数。

如果$u$的弱微分存在，一般被记为$D^{\alpha }u$。可以证明，一个函数的弱微分在测度意义是唯一的，即如果有两个不同的弱微分，其仅可能在一个零测集上存在差异。

例子

函數 $u:[-1,1]\to [0,1]:t\mapsto u(t)=|t|$ 在 $t=0$ 並不可微，但具有以下被稱為符號函數的弱微分：

$v:[-1,1]\to [-1,1]:t\mapsto v(t)=\{\begin{array}{cc}1& \text{if}t>0\\ 0& \text{if}t=0\\ -1& \text{if}t<0\end{array}$

性质

如果两个函数是相同函数的弱导数，那么它们除了在一个勒贝格测度为零的集合上以外相等，也就是说，它们几乎处处相等。如果我们考虑函数的等价类，其中两个函数是等价的如果它们几乎处处相等，那么弱导数是唯一的。

此外，如果u是可微的，那么它的弱导数与导数相同。因此弱导数是导数的推广。更进一步，两个函数的和与积的导数公式对弱导数也是成立的。

参见

• 次导数

参考文献

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