开世定理

在几何学中，开世定理是欧几里得几何学中的一个定理，可以看做是托勒密定理的一个推广结果。开世定理得名于爱尔兰数学家约翰·开世。

叙述

$t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0$

开世定理的背景是圆的内切圆。设有半径为$R$ 的一个圆$O$，圆内又有四个圆$O_1,O_2,O_3,O_4$ 内切于圆$O$（如右图）。如果将圆$O_i,O_j$ 的外公切线的长度设为$t_{ij}$，那么开世定理声称，有下列等式成立。

$t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}$

可以注意到，如果四个内切的圆都退化成点的话，就会变成圆$O$ 上的四个点，而开世定理中的等式也会化为托勒密定理。

证明

设大圆的圆心是点$O$；四个圆的圆心分别是点$O_1,O_2,O_3,O_4$，半径分别是$R_1,R_2,R_3,R_4$。每个圆与大圆$O$ 的切点分别是$K_1,K_2,K_3,K_4$。

首先，根据勾股定理可以推出：对于任意的i 和j，都有

$t_{ij}^2=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O_i{O}_j}}-(R_i-R_j{)}^2\cdots (1)$

接下来的思路是将这个公式右边的各个长度用$K_i,K_j$ 来表示。

考虑三角形$O_{i}O{O}_j$，根据三角形的余弦定理：

$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O_i{O}_j}}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O{O}_i}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O{O}_j}}-2\overline{O{O}_i}\cdot \overline{O{O}_j}\cdot \cos \mathrm{\angle }{O}_{i}O{O}_j\cdots (2)$

由于每个圆$O_i$ 都和大圆相切，所以：

$\overline{O{O}_i}=R-R_i,\mathrm{\angle }{O}_{i}O{O}_j=\mathrm{\angle }{K}_{i}O{K}_j$

设点$C$ 为大圆$O$ 上的任意一点，根据三角形的正弦定理，在三角形$K_{i}C{K}_j$之中，有：

$\overline{K_i{K}_j}=2R\cdot \sin \mathrm{\angle }{K}_{i}C{K}_j=2R\cdot \sin \frac{\mathrm{\angle }{K}_{i}O{K}_j}{2}$

所以，余弦式

$\cos \mathrm{\angle }{K}_{i}O{K}_j=1-2{\sin }^2\frac{\mathrm{\angle }{K}_{i}O{K}_j}{2}=1-2\cdot {\left(\frac{\overline{K_i{K}_j}}{2R}\right)}^2=1-\frac{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{K_i{K}_j}}}{2R^2}$

将以上$\overline{O{O}_i}$ 与$\cos \mathrm{\angle }{K}_{i}O{K}_j$ 代入式子$(2)$中，就可以得到：

$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O_i{O}_j}}=(R-R_i{)}^2+(R-R_j{)}^2-2(R-R_i)(R-R_j)(1-\frac{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{K_i{K}_j}}}{2R^2})$

$=(R-R_i{)}^2+(R-R_j{)}^2-2(R-R_i)(R-R_j)+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{K_i{K}_j}}}{R^2}$

$=((R-R_i)-(R-R_j){)}^2+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{K_i{K}_j}}}{R^2}$

$=(R_i-R_j{)}^2+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{K_i{K}_j}}}{R^2}$

再代入式子$(1)$中，就得到$t_{ij}$的表达式：

$t_{ij}=\sqrt{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O_i{O}_j}}-(R_i-R_j{)}^2}=\frac{\sqrt{R-R_i}\cdot \sqrt{R-R_j}\cdot \overline{K_i{K}_j}}{R}$

以上等式对所有的i 和j 都成立，因此只要注意到四边形 $K_1{K}_2{K}_3{K}_4$ 是圆内接四边形，那么对其应用应用托勒密定理就可以得到开世定理：

$t_{12}{t}_{34}+t_{14}{t}_{23}=\frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}(\overline{K_1{K}_2}\cdot \overline{K_3{K}_4}+\overline{K_1{K}_4}\cdot \overline{K_2{K}_3})$

$=\frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}(\overline{K_1{K}_3}\cdot \overline{K_2{K}_4})=t_{13}{t}_{24}$

证明完毕。

推广

可以用类似的方法证明，只要当圆$O_1,O_2,O_3,O_4$ 与大圆$O$ 相切（不论是外切还是内切），就会有类似开世定理的等式成立。这是需要注明，对任意的i 和j：

如果圆$O_i,O_j$ 是与大圆$O$ 以同样的方式相切（都是外切或者都是内切）的话，则$t_{ij}$表示两个圆的外公切线的长度；

如果圆$O_i,O_j$ 是与大圆$O$ 以不同的方式相切（一个是外切而另一个是内切）的话，则$t_{ij}$表示两个圆的内公切线的长度。

另一个特点是：这定理的逆定理也成立。也就是说，如果开世定理的等式成立，那么这些圆必定以规定的方式与大圆相切。

应用

在欧几里得几何学中，开世定理可以用来证明多种不同的结论。比如说费尔巴哈定理的一个简洁证明中就用到了它。

参考书籍

• Template:En Template:Cite book，p.123-125 （1929年曾以《现代几何学》（modern geometry）之名出版。）.
• Template:EnTemplate:Cite book

外部链接

• Template:MathWorld
• Shailesh Shirali: On a generalized Ptolemy TheoremTemplate:Dead link