广义逆阵

广义逆（Generalized inverse），是线性代数中针对矩阵的一种运算。一个矩阵A的广义逆叫做A的广义逆阵，是指具有部份逆矩阵的特性，但是不一定具有逆矩阵的所有特性的另一矩阵。假設一矩陣$A\in {ℝ}^{n\times m}$及另一矩陣$A^{\mathrm{g}}\in {ℝ}^{m\times n}$，若$A^{\mathrm{g}}$滿足$A{A}^{\mathrm{g}}A=A$，則$A^{\mathrm{g}}$即為$A$的广义逆阵。

广义逆也稱為偽逆（pseudoinverse），有些时候，偽逆特指摩尔－彭若斯广义逆。

建構广义逆阵的目的是針對可逆矩陣以外的矩陣（例如非方陣的矩陣）可以找到一矩陣有一些類似逆矩阵的特性。任意的矩陣都存在广义逆阵，若一矩陣存在逆矩阵，逆矩阵即為其唯一的广义逆阵。有些广义逆阵可以定義在和結合律乘法有關的數學結構（例如半群）中。

提出廣義逆陣的原因

考慮以下的線性方程

$Ax=y$

其中$A$為$n\times m$的矩陣，而$y\in ℛ(A)$ ， $A$的列空間。 若矩陣$A$為可逆矩陣，則$x=A^{-1}y$即為方程式的解。而若矩陣$A$為可逆矩陣

$A{A}^{-1}A=A$

假設矩陣$A$不可逆或是$n\ne m$，需要一個適合的$m\times n$矩陣$G$使得下式成立

$AGy=y$

因此$Gy$為線性系統$Ax=y$的解。 而同樣的，$m\times n$階的矩陣$G$也會使下式成立

$AGA=A$

因此可以用以下的方式定義广义逆阵：假設一個$n\times m$的矩陣$A$，$m\times n$的矩陣$G$若可以使下式成立，矩陣$G$即為$A$的广义逆阵

$AGA=A$

產生廣義逆陣

以下是一種產生廣義逆陣的方式：

1. 若$A=BC$為其Template:Le，則$G=C_r^{-}{B}_l^{-}$為$A$的廣義逆陣，其中$C_r^{-}$為$C$的右逆矩陣，而$B_l^{-}$為$B$的左逆矩陣。
2. 若$A=P\left[\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right]Q$，其中$P$及$Q$為可逆矩陣，則$G=Q^{-1}\left[\begin{array}{cc}{I}_r& U\\ W& V\end{array}\right]P^{-1}$是$A$的廣義逆陣，其中$U,V$及$W$均為任意矩陣。
3. 令$A$為秩為$r$的矩陣，在不失一般性的情形下，令$A=\left[\begin{array}{cc}B& C\\ D& E\end{array}\right]$，其中$B_{r\times r}$為$A$的可逆子矩陣，則$G=\left[\begin{array}{cc}{B}^{-1}& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$為$A$的廣義逆陣。

广义逆阵的種類

彭若斯條件可以用來定義不同的广义逆阵：針對$A\in {ℝ}^{n\times m}$及$A^{\mathrm{g}}\in {ℝ}^{m\times n},$

1.)	$A{A}^{\mathrm{g}}A=A$
2.)	$A^{\mathrm{g}}A{A}^{\mathrm{g}}=A^{\mathrm{g}}$
3.)	$(A{A}^{\mathrm{g}}{)}^{\mathrm{T}}=A{A}^{\mathrm{g}}$
4.)	$(A^{\mathrm{g}}A{)}^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{g}}A$

若$A^{\mathrm{g}}$滿足條件(1.)，即為$A$的广义逆阵，若滿足條件(1.)和(2.)，則為$A$的廣義反身逆陣（generalized reflexive inverse），若四個條件都滿足，則為$A$的摩尔－彭若斯广义逆。

以下是一些其他種類的广义逆阵

• 單邊逆矩陣（左逆矩陣或是右逆矩陣）若矩陣A的維度是$n\times m$且為 满秩，若$n>m$則用左逆矩陣，若$n<m$則用右逆矩陣。
  • 左逆矩陣為$A_{\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{t}}^{-1}={\left(A^{\mathrm{T}}A\right)}^{-1}{A}^{\mathrm{T}}$，也就是$A_{\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{t}}^{-1}A=I_m$，其中$I_m$為$m\times m$單位矩陣。
  • 右逆矩陣為$A_{\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}}^{-1}=A^{\mathrm{T}}{\left(A{A}^{\mathrm{T}}\right)}^{-1}$，也就是$A{A}_{\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}}^{-1}=I_n$，其中 $I_n$為$n\times n$單位矩陣。
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• 摩尔－彭若斯广义逆

應用

任何一種广义逆阵都可以用來判斷线性方程组是否有解，若有解時列出其所有的解。若以下n × m的線性系統有解存在

$Ax=b$

其中向量$x$為未知數，向量b為常數，以下是所有的解

$x=A^{\mathrm{g}}b+[I-A^{\mathrm{g}}A]w$

其中參數w為任意矩陣，而$A^{\mathrm{g}}$為$A$的任何一個广义逆阵。解存在的條件若且唯若$A^{\mathrm{g}}b$為其中一個解，也就是若且唯若$A{A}^{\mathrm{g}}b=b$。

參考資料

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相關條目

• 反元素
• 摩尔－彭若斯广义逆
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外部連結

• 15A09 数学学科分类标准中對於反矩陣及广义逆阵的分類 searchTemplate:Dead link