平滑最大值

平滑最大值是最大值函数$\max (x_1,\dots ,x_n),$的光滑函数。其是一个参数族，在 $m_{\alpha }(x_1,\dots ,x_n)$中，对于每个参数Template:Mvar，函数 Template:Tmath 都是平滑的。参数族内包含最大值函数，并且Template:Tmath 当 Template:Tmath。 平滑最小值的概念也是类似的。 在大多数情况下，一个族满足两个条件：当参数趋向于正无穷大时为函数变为最大值函数，当参数变为负无穷大时函数变为最小值函数；符号表示为： Template:Tmath 当 Template:Tmath ，Template:Tmath 当 Template:Tmath。平滑最大值也可以用于描述行为类似于最大值函数的其他平滑函数，而不一定必须在此参数族中。

例子

平滑最大值应用于具有各种系数的'-x'和x函数。 非常光滑当$\alpha$ = 0.5，而$\alpha$ = 8更加平滑。

当正值参数较大时，且$\alpha >0$ ，下列公式是最大函数的平滑函数，可微、近似于最大值函数。 对于绝对值较大的负值参数，其近似最小值函数。

${𝒮}_{\alpha }(x_1,\dots ,x_n)=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i{e}^{\alpha x_i}}{\sum _{i=1}^n{e}^{\alpha x_i}}$

${𝒮}_{\alpha }$具有以下属性：

1. ${𝒮}_{\alpha }\to \max$当$\alpha \to \mathrm{\infty }$
2. ${𝒮}_0$是其输入的算术平均值
3. ${𝒮}_{\alpha }\to \min$当$\alpha \to -\mathrm{\infty }$

${𝒮}_{\alpha }$的梯度近似于softmax函数，由以下公式可得：

${\mathrm{\nabla }}_{x_i}{𝒮}_{\alpha }(x_1,\dots ,x_n)=\frac{e^{\alpha x_i}}{\sum _{j=1}^n{e}^{\alpha x_j}}[1+\alpha (x_i-{𝒮}_{\alpha }(x_1,\dots ,x_n))].$

这使softmax函数使用梯度下降的优化时很有用。

LogSumExp

另一个平滑最大值函数例子是LogSumExp ：

$\mathrm{L}\mathrm{S}\mathrm{E}(x_1,\dots ,x_n)=\log (\exp (x_1)+\dots +\exp (x_n))$

如果$x_i$都是非负的，可产生定义域是$[0,\mathrm{\infty }{)}^n$和值域是$[0,\mathrm{\infty })$的函数 ：

$g(x_1,\dots ,x_n)=\log (\exp (x_1)+\dots +\exp (x_n)-(n-1))$

$(n-1)$项通过消除除零以外的所有零指数使得$\exp (0)=1$，以及$\log 1=0$当$x_i$为零。

p范数函数

另一个平滑最大值函数是p范数 ：

$||(x_1,\dots ,x_n)|{|}_p={(|x_1{|}^p+\cdots +|x_n{|}^p)}^{1/p}$

当$p\to \mathrm{\infty }$ ，收敛到$||(x_1,\dots ,x_n)|{|}_{\mathrm{\infty }}=\underset{1\le i\le n}{\max }|x_i|$。

p范数的一个优点是它是一个范数 。 因此，它是“尺度不变”的（同质的）： $||(\lambda x_1,\dots ,\lambda x_n)|{|}_p=|\lambda |\times ||(x_1,\dots ,x_n)|{|}_p$ ，它满足三角不等式。

平滑函数的其他例子

${𝓂𝒶𝓍}_{\alpha }(x_1,x_2)=0.5((x_1+x_2)+\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+\alpha })$

参见

• LogSumExp
• Softmax函数
• 广义均值

参考文献

Template:Reflist M. Lange, D. Zühlke, O. Holz, and T. Villmann, "Applications of lp-norms and their smooth approximations for gradient based learning vector quantization," in Proc. ESANN, Apr. 2014, pp. 271-276. (-{R|https://www.elen.ucl.ac.be/Proceedings/esann/esannpdf/es2014-153.pdf}- Template:Wayback)