帕斯卡矩阵

帕斯卡矩阵是以组合数为元素的矩阵。

5阶帕斯卡上三角矩阵（$U_5$）	5阶帕斯卡下三角矩阵（$L_5$）	5阶帕斯卡对称矩阵（$S_5$）
$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 2& 3& 4\\ 0& 0& 1& 3& 6\\ 0& 0& 0& 1& 4\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0\\ 1& 2& 1& 0& 0\\ 1& 3& 3& 1& 0\\ 1& 4& 6& 4& 1\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 3& 4& 5\\ 1& 3& 6& 10& 15\\ 1& 4& 10& 20& 35\\ 1& 5& 15& 35& 70\end{array}\right)$

其中$S_n=L_n{U}_n$

性质

帕斯卡对称矩阵$S_n$的元素为：

$S_{ij}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+j-2}{i-1})$

$S_n$的迹为：

$tr(S_n)=\sum _{i=1}^n\frac{[2(i-1)]!}{[(i-1)!{]}^2}=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(2k)!}{(k!{)}^2}$ （OEIS:A006134）

帕斯卡下三角矩阵$L_6$的逆为：

${\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 2& 1& 0& 0& 0\\ 1& 3& 3& 1& 0& 0\\ 1& 4& 6& 4& 1& 0\\ 1& 5& 10& 10& 5& 1\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0\\ -1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& -2& 1& 0& 0& 0\\ -1& 3& -3& 1& 0& 0\\ 1& -4& 6& -4& 1& 0\\ -1& 5& -10& 10& -5& 1\end{array}\right)$

帕斯卡矩阵可从超对角矩阵的指数构造出来：

$\begin{array}{cc}& L_7=\exp \left(\left[\begin{array}{ccccccc}.& .& .& .& .& .& .\\ 1& .& .& .& .& .& .\\ .& 2& .& .& .& .& .\\ .& .& 3& .& .& .& .\\ .& .& .& 4& .& .& .\\ .& .& .& .& 5& .& .\\ .& .& .& .& .& 6& .\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{ccccccc}1& .& .& .& .& .& .\\ 1& 1& .& .& .& .& .\\ 1& 2& 1& .& .& .& .\\ 1& 3& 3& 1& .& .& .\\ 1& 4& 6& 4& 1& .& .\\ 1& 5& 10& 10& 5& 1& .\\ 1& 6& 15& 20& 15& 6& 1\end{array}\right];\\ \\ & U_7=\exp \left(\left[\begin{array}{ccccccc}.& 1& .& .& .& .& .\\ .& .& 2& .& .& .& .\\ .& .& .& 3& .& .& .\\ .& .& .& .& 4& .& .\\ .& .& .& .& .& 5& .\\ .& .& .& .& .& .& 6\\ .& .& .& .& .& .& .\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ .& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ .& .& 1& 3& 6& 10& 15\\ .& .& .& 1& 4& 10& 20\\ .& .& .& .& 1& 5& 15\\ .& .& .& .& .& 1& 6\\ .& .& .& .& .& .& 1\end{array}\right];\\ \\ & S_7=\exp \left(\left[\begin{array}{ccccccc}.& .& .& .& .& .& .\\ 1& .& .& .& .& .& .\\ .& 2& .& .& .& .& .\\ .& .& 3& .& .& .& .\\ .& .& .& 4& .& .& .\\ .& .& .& .& 5& .& .\\ .& .& .& .& .& 6& .\end{array}\right]\right)\exp \left(\left[\begin{array}{ccccccc}.& 1& .& .& .& .& .\\ .& .& 2& .& .& .& .\\ .& .& .& 3& .& .& .\\ .& .& .& .& 4& .& .\\ .& .& .& .& .& 5& .\\ .& .& .& .& .& .& 6\\ .& .& .& .& .& .& .\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ 1& 3& 6& 10& 15& 21& 28\\ 1& 4& 10& 20& 35& 56& 84\\ 1& 5& 15& 35& 70& 126& 210\\ 1& 6& 21& 56& 126& 252& 462\\ 1& 7& 28& 84& 210& 462& 924\end{array}\right].\end{array}$

映射出正负相间的伯努利数：

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0\\ 1& 2& 1& 0\\ 1& 3& 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ -1/2\\ 1/6\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1/2\\ 1/6\\ 0\end{array}\right)$

应用

利用帕斯卡矩阵的逆求解线性方程与等幂求和问题，例如：

$\sum _{i=1}^n{i}^3=\left(\begin{array}{cccc}{C}_1^n& C_2^n& C_3^n& C_4^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -1& 1& 0& 0\\ 1& -2& 1& 0\\ -1& 3& -3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{1}^3\\ 2^3\\ 3^3\\ 4^3\end{array}\right)=C_1^n+7C_2^n+12C_3^n+6C_4^n$

参见

• 杨辉三角形
• LU分解