布魯薛-培根檢定

Template:NoteTA 在统计学中，布魯薛－培根檢定（Template:Lang-en，Breusch-Pagan檢定，常簡稱BP检验）是1979年由Template:Tsl和Template:Tsl提出的方法，用来检验线性回归模型中是否存在异方差的问题。另外，Template:Tsl和韦斯伯格在1983年独立地提出了类似的方法。异方差的存在意味着模型的方差与自变量是相关的。

设回归模型为

$y={\beta }_0+{\beta }_{1}x+u,$

对其进行回归可以得到一组残差$\hat{u}$。普通最小二乘法要求方差与自变量无关，这时方差可以由残差平方和的平均值估计得到。但如果这个前提不成立，例如方差与自变量线性相关，就可以通过下列辅助回归，即残差平方对自变量进行回归检验出来：

${\hat{u}}^2={\gamma }_0+{\gamma }_{1}x+v.$

这就是BP检验的一个情形。它实质上是卡方检验，检验统计量渐进于$n{\chi }^2$，自由度与除常数项外的解释变量数相等。如果得到的p值小于一定阈值（如0.05）就可以拒绝零假设并认为异方差存在。

如果BP检验表明存在异方差存在，可以视情况使用Template:Tsl（适用于异方差的分布已知时）或Template:Tsl方法。

流程

根据高斯-马尔可夫定理，在同方差的前提下，普通最小二乘估计是最佳的线性无偏估计，意即其方差相较其他任何估计量都更小。如果异方差存在，估计结果仍是无偏的，但其方差并不是最小的。在决定使用哪种估计方法之前，可以先进行BP测试来判断是否存在异方差。BP检验的前提是方差${\sigma }_i^2=h(x_i^T\gamma )$与各个自变量有关，其中$x_i=(1,x_{2i},\dots ,x_{pi})$是自变量，这里除去常数项以外共有$p-1$个解释变量。零假设亦即异方差不存在等价于$(p-1)$个约束：

${\gamma }_2=\cdots ={\gamma }_p=0.$

BP测试分为以下三个步骤：

• 第一步：对原始模型进行普通最小二乘估计

$y=X\beta +\epsilon$

并对每个观测都计算出残差$e_i$。

• 第二步：进行下列辅助回归

$e_i^2={\gamma }_1+{\gamma }_2{x}_{2i}+\cdots +{\gamma }_p{x}_{pi}+{\eta }_i$

• 第三步：检验统计量LM等于第二步中辅助回归的决定系数乘以样本大小$n$：

$\text{LM}=n{R}^2.$

如果同方差的零假设成立，LM统计量是渐进于${\chi }_{p-1}^2$分布的。

软件实现

在R语言中，能够完成BP检验的函数包括car包中的ncvTest函数、lmtest包中的bptest函数以及plm包中的plmtest函数等。

而Stata中计算回归后使用estat hettest命令，参数填写所有独立变量，即可进行BP检验。

在Python中，statsmodels.stats.diagnostic（statsmodels包）中的函数het_breuschpagan可进行BP检验。

参见

• Template:Tsl

拓展阅读

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