布盧姆加速定理

在計算複雜性理論，布盧姆加速定理（英語：Blum's speedup theorem）為關於可计算函数複雜度的基本定理，最早由曼纽尔·布卢姆在1967年提出。

選定一種編程語言後，每個可計算函數仍由無窮多個程式實現，該些程式可能各有優劣。給定某個可計算函數和複雜度衡量時，算法理論經常尋找計算該函數「最不複雜」的算法（稱為「最優」，例如當複雜度用時間衡量時，便是「最快」）。布魯姆加速定理斷言，任何複雜度衡量下，都存在某個没有最優算法的可計算函數，亦即，任何該函數的程式實現都會比另一個實現複雜。此結論同時說明，無法同時定義全部可計算函數的複雜度（函數的複雜度是其最優程式的複雜度）。當然，不排除能找到特定函數的最優程式，並計算其複雜度。

定理敍述

給定布盧姆複雜度衡量$(\phi ,\mathrm{\Phi })$和二元全可計算函數$f$，必有全可計算謂詞$g$（即輸出只能為布爾值$0,1$的全可計算函數），使得對於$g$的每個程式$i$，都有$g$的另一個程式$j$，使得對幾乎所有輸入$x$，都有

$f(x,{\mathrm{\Phi }}_j(x))\le {\mathrm{\Phi }}_i(x).$

粗略而言，上式表明存在程式$j$，使其複雜度${\mathrm{\Phi }}_j(x)$比程式$i$的複雜度${\mathrm{\Phi }}_i(x)$更小，且可以遠遠更小（「遠遠」的含義由$f$指定）。$f$稱為加速函數，它可以很大（只需可計算）。例如，若取$f(x,y)=2^y$，則$j$的複雜度很小，為$O(\log {\mathrm{\Phi }}_i(x))$。

參見

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參考資料

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外部鏈結

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