巴拿赫极限

Template:NoteTA 在数学分析中，巴拿赫极限（Template:Lang-en）指的是定义在全体有界复序列组成的巴拿赫空间${\ell }^{\mathrm{\infty }}$上，对每个${\ell }^{\mathrm{\infty }}$中的序列$x=(x_n)$、$y=(y_n)$和复数$\alpha$满足：

1. $\varphi (\alpha x+y)=\alpha \varphi (x)+\varphi (y)$（线性）；
2. 若对每个$n\in \mathbb{N}$有$x_n\ge 0$，则$\varphi (x)\ge 0$（正定性）；
3. $\varphi (x)=\varphi (Sx)$，其中$S$是移位算子，定义为$(Sx{)}_n=x_{n+1}$（移位不变性）；
4. 若$x$是收敛序列，则$\varphi (x)=\lim x$

的连续线性泛函$\varphi :{\ell }^{\mathrm{\infty }}\to ℂ$。

因此，$\varphi$是对连续线性泛函$\lim :c\to ℂ$的延拓，其中$c\subset {\ell }^{\mathrm{\infty }}$是$ℂ$中收敛到某个极限的全体序列组成的复向量空间。进而可以视为发散级数论中的一个可和法。

换句话说，巴拿赫极限是对通常意义下极限概念的延拓，并且是线性、移位不变、正定的。可以对某个序列找到两个巴拿赫极限，使得各自作用下得到两个不同的值，我们称这类序列的巴拿赫极限不是唯一确定的。

作为上述性质的一个推论，每个实值巴拿赫极限也满足：

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{x}_n\le \varphi (x)\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{x}_n$

巴拿赫极限的存在性通常需要应用哈恩-巴拿赫定理证明（分析学方法），也可以应用超滤子（这种方法在集合论的讨论中出现得更频繁）。这些证明都一定会用到选择公理（即所谓的非构造证明）。

几乎收敛

某些不收敛的级数在巴拿赫极限的作用下是唯一确定的。 例如$x=(1,0,1,0,\dots )$，注意到$x+S(x)=(1,1,1,\dots )$是常序列，并且

$2\varphi (x)=\varphi (x)+\varphi (Sx)=\varphi (x+Sx)=\varphi ((1,1,1,\dots ))=\lim ((1,1,1,\dots ))=1.$

因此对每个巴拿赫极限而言，它以$1/2$为极限。

我们将每个巴拿赫极限$\varphi$下有相同的$\varphi (x)$的有界序列$x$称为几乎收敛的。

Ba 空间

在$c\subset {\ell }^{\mathrm{\infty }}$中给定收敛序列$x=(x_n)$，如果考虑对偶$⟨{\ell }^1,{\ell }^{\mathrm{\infty }}⟩$，$x$通常的极限并不由${\ell }^1$的某个元素给出。实际上${\ell }^{\mathrm{\infty }}$是${\ell }^1$的连续对偶空间（对偶巴拿赫空间）；反过来，${\ell }^1$虽然能诱导出${\ell }^{\mathrm{\infty }}$中的连续线性泛函，但并不是全部。每个${\ell }^{\mathrm{\infty }}$上的巴拿赫极限都是${\ell }^{\mathrm{\infty }}$的对偶巴拿赫空间中的一个元素，但不在${\ell }^1$中。${\ell }^{\mathrm{\infty }}$的对偶叫做ba空间，由一切自然数集子集的σ-代数上有限可加（符号）测度组成，或者等价地说是由每个自然数集的Stone–Čech紧化上的波莱尔（符号）测度组成。

外部链接

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参考

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