巴恩斯积分

Barnes Integral 3D

Barnes Integral density plot

巴恩斯积分（Template:Lang-en），由英國數學家Template:Tsl所推導而得，涉及Γ函数乘積的Template:Tsl積分運算，研究複分析的工具，因芬蘭數學家亞爾馬·梅林的部份貢獻，又稱「梅林－巴恩斯积分」，與广义超几何函数高度相關。

定义如下：

$B(\sigma ,\mu )=\frac{\mathrm{\Gamma }(\sigma /2+1)*\mathrm{\Gamma }(\sigma /2+1)}{2^{\mu +1}*\mathrm{\Gamma }(\sigma /2-v/2+\mu /2+1)*\mathrm{\Gamma }(\sigma /2+v/2+\mu /2+3/2)}$

超几何函数

已知超几何函数時，巴恩斯积分如下而得

${}_2{F}_1(a,b;c;z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(c)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}\frac{1}{2\pi i}\underset{-i\mathrm{\infty }}{\overset{i\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{\Gamma }(a+s)\mathrm{\Gamma }(b+s)\mathrm{\Gamma }(-s)}{\mathrm{\Gamma }(c+s)}(-z{)}^{s}ds.$

参考文献

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