巴塔林-维尔可维斯基代数

Batalin-Vilkovisky代数（Batalin–Vilkovisky formalism，简称BV代数）是Batalin和Vilkovisky在研究规范场的量子化过程中发现的一种代数结构。他们所提出的量子化方法（称为BV formailism或者BV quantization），是一种十分普遍而且有效的量子化方法，正受到越来越多的量子场论学家和弦理论家的重视和应用，而BV代数也越来越受到数学家们的重视。

定义

设$V$是数域$k$上的一个分次(graded)线性空间。$V$上的一个BV代数结构是三元组$(V,\bullet ,\mathrm{\Delta })$，满足以下两个关系：

1. $(V,\bullet )$是$k$上的分次、交换、结合的代数(algebra)；
2. $\mathrm{\Delta }$是关于$\bullet$的二阶微分算子，即$\mathrm{\Delta }$的度数为1，${\mathrm{\Delta }}^2=0$，并且对任给的$a,b,c\in V$,

$\begin{array}{ccc}\mathrm{\Delta }(a\bullet b\bullet c)& =& \mathrm{\Delta }(a\bullet b)\bullet c+(-1{)}^{|a|}a\bullet \mathrm{\Delta }(b\bullet c)+(-1{)}^{(|a|+1)|b|}b\bullet \mathrm{\Delta }(a\bullet c)\\ & & -(\mathrm{\Delta }a)\bullet b\bullet c-(-1{)}^{|a|}a\bullet (\mathrm{\Delta }b)\bullet c-(-1{)}^{|a|+|b|}a\bullet b\bullet (\mathrm{\Delta }c).\end{array}$

在上面的定义中，如果令

$[a,b]=(-1{)}^{|a|}\mathrm{\Delta }(a\bullet b)-(-1{)}^{|a|}(\mathrm{\Delta }a)\bullet b-a\bullet (\mathrm{\Delta }b),$

则可以验证，$(V,\bullet ,[,])$形成一个Gerstenhaber代数。因此可以说，BV代数是一类特殊的Gerstenhaber代数。不仅如此，$\mathrm{\Delta }$还是关于$[,]$的导子(derivation)，即

$\mathrm{\Delta }[a,b]=[\mathrm{\Delta }a,b]+(-1{)}^{|a|+1}[a,\mathrm{\Delta }b],$

使得$(V,[,],\mathrm{\Delta })$形成一个微分分次李代数(differential graded Lie algebra, DGLA)。

例子

迄今为止所发现的BV代数的例子几乎都与数学物理有关。

1. 设$M$是一个奇的辛流形(odd symplectic manifold)，记$C^{\mathrm{\infty }}(M)$为$M$上光滑函数组成的集合。我们有$C^{\mathrm{\infty }}(M)$形成一个分次交换结合的代数，记其乘法为$\bullet$。设$(x^1,\cdots ,x^n;{\eta }^1,\cdots ,{\eta }^n)$为$M$上的一组Darboux坐标，令
   $\mathrm{\Delta }=\sum _{i=1}^n\frac{\partial }{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial {\eta }^i},$
   则可以验证，$(C^{\mathrm{\infty }}(M),\bullet ,\mathrm{\Delta })$形成一个BV代数，参见；
2. 田刚(G. Tian)在关于卡拉比-丘流形(Calabi-Yau manifold)的复结构的形变空间是光滑的证明中，实际上证明了控制复结构形变的微分分次李代数是一个BV代数；
3. B. Lian和G. Zuckerman证明了量子场论的数学背景(background，指从量子场论中抽象出来的代数结构)有一个BV代数结构；
4. E. Getzler用不同于Lian和Zuckerman的方法证明，一个二维拓扑共形场论(TCFT，此处采用Segal的定义)的同调群有一个自然的BV代数结构；
5. M. Chas和D. Sullivan证明，一个流形的自由环路空间(free loop space)的同调群上有一个BV代数结构。

背景

正如上面所述，BV代数跟量子场论有密切的联系。事实上，对一些数学物理学家来说，一个量子场论就指一个BV代数以及其中一个元素

$S$

，该元素满足以下方程：

$\mathrm{\Delta }{e}^S=0($等价于$\mathrm{\Delta }S+\frac{1}{2}[S,S]=0),$

称为Master方程，有时候

$S$

必须满足所谓的量子Master方程，即

$\mathrm{\Delta }{e}^{\frac{S}{\hslash }}=0.$

另外，BV代数跟弦理论里面的镜像对称(Mirror Symmetry)也有密切的关系。事实上，镜像对称的A模型和B模型都有一个BV代数，而它们相应的Master方程的解空间上都有一个所谓弗罗贝尼乌斯流形的结构。镜像对称的一种表述就是，这两个Frobenius流形是同构的。

BV代数的研究是目前数学特别是数学物理中一个比较活跃的领域，关于它的研究仍在进行之中。