多项式定理

多项式定理为二项式定理的推广。$t=2$ 时为二项式定理。

$(x_1+x_2+\cdots +x_t{)}^n=\sum \frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_t!}{x}_1^{n_1}{x}_2^{n_2}\cdots x_t^{n_t}$

其中 $n_1+n_2+\cdots +n_t=n$、$0\le n_i\le n$

$n_1,n_2,n_3\cdots n_t$ 是指一切满足上述条件的非负数组合。 由隔板法可知该多项式展开共有 $\frac{(n+t-1)!}{n!(t-1)!}$ 项。

证明

数学归纳法

对元数t做归纳： 当t=2时，原式为二项式定理，成立。 假设对t-1元成立，则：

${(x_1+x_2+\cdots +x_t)}^n$

$=$ $((x_1+x_2+\cdots +x_{t-1})+x_t{)}^n$

$=$ $\sum _{n_t=0}^n\frac{n!}{n_t!(n-n_t)!}{(x_1+x_2+\cdots +x_{t-1})}^{n-n_t}{x}_t^{n_t}$

$=$ $\sum _{n_t=0}^n\frac{n!}{n_t!(n-n_t)!}\sum _{n_1+n_2+\cdots +n_{t-1}=n-n_t}\frac{(n-n_t)!}{n_1!\cdots n_{t-1}!}{x}_1^{n_1}\cdots x_{t-1}^{n_{t-1}}{x}_t^{n_t}$

$=$ $\sum _{n_1+n_2+\cdots +n_t=n}\frac{n!}{n_1!\cdots n_t!}{x}_1^{n_1}\cdots x_t^{n_t}$

证毕.

组合法

从$n_1+n_2+\cdots +n_t=n$中选$n_i$个$x_i$：

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n_1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-n_1}{n_2})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-n_1-n_2}{n_3})\cdots (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-n_1-n_2-\cdots -n_{t-1}}{n_t})$

$=\frac{n!(n-n_1)!(n-n_1-n_2)!\cdots (n-n_1-n_2-\cdots -n_{t-1})!}{n_1!(n-n_1)!n_2!(n-n_1-n_2)!n_3!(n-n_1-n_2-n_3)!\cdots n_t!(n-n_1-n_2-\cdots -n_t)!}=\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!\cdots n_t!}$
证毕.

参见

• 二项式定理
• 多项式